21．（本小题满分 13 分）
过拖物线 $E: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点 F 作斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1}, l_{2}$，且 $k_{1}+k_{2}=2, l_{1}$ 与 $E$ 相交于点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, l_{2}$ 与 $E$ 相交于点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$。以 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 为直径的圆 M，圆 N （ $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$。
（I）若 $k_{1}>0, k_{2}>0$，证明； $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}<2 P^{2}$；
（II）若点 M 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$，求抛物线 E 的方程。
参考答案(1) 依题意，拖物线 E 的交点为 $F\left(0, \frac{p}{2}\right)$，直线 $l_{1}$ 的方程为 $y=k_{1} x+\frac{p}{2}$，由 $\left\{\begin{array}{l}y=k_{1} x+\frac{p}{2} \\ x^{2}=2 p y\end{array}\right.$ 得 $x^{2}-2 p k_{1} x-p^{2}=0$，设…