（本小题满分 13 分） 过拖物线 E: x^ 2 =2…——2013 高考数学第 21 题答案解析

参考答案(1) 依题意，拖物线 E 的交点为 $F\left(0, \frac{p}{2}\right)$，直线 $l_{1}$ 的方程为 $y=k_{1} x+\frac{p}{2}$，由 $\left\{\begin{array}{l}y=k_{1} x+\frac{p}{2} \\ x^{2}=2 p y\end{array}\right.$ 得 $x^{2}-2 p k_{1} x-p^{2}=0$，设 $\mathrm{A}、 \mathrm{~B}$ 两点的坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$，则 $x_{1}, x_{2}$ 是 上述方程的两个实数根，从而 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=2 p k_{1} \\ y_{1}+y_{2}=k\left(x_{1}+x_{2}\right)=2 p k_{1}^{2}+p\end{array}\right.$，所以点 M 的坐标为 $\left(p k_{1}, p k_{1}^{2}+\frac{p}{2}\right), ~ \overline{F M}=\left(p k_{1}, p k_{1}^{2}\right)$，同理可得 $N$ 的坐标为 $\left(p k_{2}, p k_{2}^{2}+\frac{p}{2}\right), ~ \overline{F N}=\left(p k_{2}, p k_{2}^{2}\right)$，于是 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=p^{2}\left(k_{1} k_{2}+k_{1}^{2} k_{2}^{2}\right)$，由题设，$k_{1}+k_{2}=2, k_{1}>0, k_{2}>0, k_{1} \neq k_{2}$，所以 $0<k_{1} k_{2}<\frac{\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}}{2}=1$，故 $\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}<p^{2}\left(1+1^{2}\right)=2 p^{2}$; (2) 由抛物线的定义得 $|F A|=y_{1}+\frac{p}{2},|F B|=y_{2}+\frac{p}{2}$，所以 $|A B|=y_{1}+y_{2}+p=2 p k_{1}^{2}+2 p$，从而圆 M 的半径 $r_{1}=p k_{1}^{2}+p$，圆 M 的方程为 $\left(x-p k_{1}\right)^{2}+\left(y-p k_{1}^{2}-\frac{p}{2}\right)^{2}=\left(p k_{1}^{2}+p\right)^{2}$，化简得 $x^{2}+y^{2}-2 p k_{1} x-p\left(2 k_{1}^{2}+1\right) y-\frac{3}{4} p^{2}=0$，同理可得圆 N 的方程为 $x^{2}+y^{2}-2 p k_{2} x-p\left(2 k_{2}^{2}+1\right) y-\frac{3}{4} p^{2}=0$，于是圆 M 与圆 N 的公共弦所在直线 $l$ 的方程为 $\left(k_{2}-k_{1}\right) x+\left(k_{2}^{2}-k_{1}^{2}\right) y=0$，又 $k_{2}-k_{1} \neq 0, k_{1}+k_{2}=2$，则直线 $l$ 的方程为 $x+2 y=0$，因为 $p>0$，所以点 M 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{\left|2 p k_{1}^{2}+p k_{1}+p\right|}{\sqrt{5}}=\frac{p \geq\left[2\left(k_{1}+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{7}{8}\right]}{\sqrt{5}}$，故当 $k_{1}=-\frac{1}{4}$ 时，$d$ 取最小值 $\frac{7 p}{8 \sqrt{5}}$。由题设，$\frac{7 p}{8 \sqrt{5}}=\frac{7 \sqrt{5}}{5}$，所以 $p=8$，故所求抛物线 E 的方程为 $x^{2}=16 y$