（12 分）（2016 •山东）已知数列 a_ n 的前…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（12 分）（2016 •山东）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=3 n^{2}+8 n,\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{n}=b_{n}+b_{n+1}$ ．
（I）求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）令 $c_{n}=\frac{\left(a_{n}+1\right)^{n+1}}{\left(b_{n}+2\right)^{n}}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列。
【分析】（I）求出数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式，再求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）求出数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项，利用错位相减法求数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ．
【解答】解：（I ） $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=3 \mathrm{n}^{2}+8 \mathrm{n}$ ，
$\therefore n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=6 n+5$ ，
$\mathrm{n}=1$ 时， $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{S}_{1}=11, \therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=6 \mathrm{n}+5$ ；
$\because \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}_{\mathrm{n}}+\mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}$,
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}-1}=\mathrm{b}_{\mathrm{n}-1}+\mathrm{b}_{\mathrm{n}}$ ，
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1}=\mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}-\mathrm{b}_{\mathrm{n}-1}$ ．
$\therefore 2 \mathrm{~d}=6$ ，
$\therefore \mathrm{d}=3$ ，

$\because \mathrm{a}_{1}=\mathrm{b}_{1}+\mathrm{b}_{2}$,
$\therefore 11=2 b_{1}+3$ ，
$\therefore \mathrm{b}_{1}=4$ ，
$\therefore \mathrm{b}_{\mathrm{n}}=4+3(\mathrm{n}-1)=3 \mathrm{n}+1$ ；
（II）$c_{n}=\frac{\left(a_{n}+1\right)^{n+1}}{\left(b_{n}+2\right)^{n}}=\frac{(6 n+6)^{n+1}}{(3 n+3)^{n}}=6(n+1) \cdot 2^{n}$ ，
$\therefore \mathrm{T}_{\mathrm{n}}=6\left[2 \bullet 2+3 \bullet 2^{2}+\ldots+(\mathrm{n}+1) \bullet 2^{\mathrm{n}}\right]$①，
$\therefore 2 \mathrm{~T}_{\mathrm{n}}=6\left[2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+\ldots+\mathrm{n} \cdot 2^{\mathrm{n}}+(\mathrm{n}+1) \cdot 2^{\mathrm{n}+1}\right]②$ ，
①－②可得 $-T_{n}=6\left[2 \cdot 2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{n}-(n+1) \cdot 2^{n+1}\right]=12+6 \times \frac{2\left(1-2^{n}\right)}{1-2}-6(n+1) \cdot 2^{n+1}= (-6 n) \cdot 2^{n+1}=-3 n \cdot 2^{n+2}$,
$\therefore \mathrm{T}_{\mathrm{n}}=3 \mathrm{n} \bullet 2^{\mathrm{n}+2}$ 。
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题。