2015 ??高考数学 2015_天津卷 (2015·理) 第 17 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

18．已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}ight\}$ 满足 $a_{n+2}=q a_{n}$（ $q$ 为实数，且 $q 
eq 1$ ），$n \in N^{*}, a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{2}+a_{1}, a_{3}+a_{4}$ ， $a_{4}+a_{5}$ 成等差数列。
（I）求 $q$ 的值和 $\left\{a_{n}ight\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\frac{\log _{2} a_{2 n}}{a_{2 n-1}}, n \in N^{*}$ ，求数列 $\left\{b_{n}ight\}$ 的前 $n$ 项和．

Accepted Answer

见解析 解析过程： （ I ）解：由已知，有 $\left(a_{3}+a_{4}ight)-\left(a_{2}+a_{3}ight)=\left(a_{4}+a_{5}ight)-\left(a_{3}+a_{4}ight)$ ， 即 $a_{4}-a_{2}=a_{5}-a_{3}$ ，所以 $a_{2}(q-1)=a_{3}(q-1)$ ． 又因为 $q 
eq 1$ ，故 $a_{3}=a_{2}=2$ ，由 $a_{3}=a_{1} \cdot q$ ，得 $q=2$ ． 当 $n=2 k-1\left(k \in N^{*}ight)$ 时，$\quad a_{n}=a_{2 k-1}=2^{k-1}=2^{\frac{n-1}{2}}$ ； 当 $n=2 k\left(k \in N^{*}ight)$ 时，$a_{n}=a_{2 k}=2^{k}=2^{\frac{n}{2}}$ ． 所以，$\left\{a_{n}ight\}$ 的通项公式为 $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}2^{\frac{n-1}{2}}, n 	ext { 为奇数，} \ 2^{\frac{n}{2}}, n 	ext { 为偶数．}\end{array}ight.$ （II）解：由（I）得 $b_{n}=\frac{\log _{2} a_{2 n}}{a_{2 n-1}}=\frac{n}{2^{n-1}}$ ．设 $\left\{b_{n}ight\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ， 则 $S_{n}=1 	imes \frac{1}{2^{0}}+2 	imes \frac{1}{2^{1}}+3 	imes \frac{1}{2^{2}}+\ldots+(n-1) 	imes \frac{1}{2^{n-2}}+n 	imes \frac{1}{2^{n-1}}$ ， $\frac{1}{2} S_{n}=1 	imes \frac{1}{2^{1}}+2 	imes \frac{1}{2^{2}}+3 	imes \frac{1}{2^{3}}+\ldots+(n-1) 	imes \frac{1}{2^{n-1}}+n 	imes \frac{1}{2^{n}}$, 上述两式相减，得 $\frac{1}{2} S_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\ldots \frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^{n}}=\frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n}}=2-\frac{2}{2^{n}}-\frac{n}{2^{n}}$ 整理得，$S_{n}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$ ． 所以，数列 $\left\{b_{n}ight\}$ 的前 n 项和为 $4-\frac{n+2}{2^{n-1}}, n \in N^{*}$ ．

2015 高考数学第 17 题答案解析

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