2013_退役省自主命题 (2013·文)
19．（本小题满分 13 分）
已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{4}, S_{2}, S_{3}$ 成等差数列，且 $a_{2}+a_{3}+a_{4}=-18$．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）是否存在正整数 $n$，使得 $S_{n} \geq 2013$ ？若存在，求出符合条件的所有 $n$ 的集合；若不存在，说明理由．
（I ）$a_{n}=3(-2)^{n-1} \quad$（II）存在 $\{n \mid n=2 k+1, k \in N, k \geq 5\}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
［答案］（I ）$a_{n}=3(-2)^{n-1} \quad$（II）存在 $\{n \mid n=2 k+1, k \in N, k \geq 5\}$
［解析］分析：①先由已知建立方程组解出 $a_{1}, q$ 即可。②先求出 $S_{n}$ 再讨论。
解：（I）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $g$，则 $a_{1} \neq 0, q \neq 0$．由题意得
$$ \left\{\begin{array} { l } { S _ { 2 } - S _ { 4 } = S _ { 3 } - S _ { 2 } , } \\ { a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } = - 1 8 , } \end{array} \text { 即 } \left\{\begin{array}{l} -a_{1} q^{2}-a_{1} q^{3}=a_{1} q^{2}, \\ a_{1} q\left(1+q+q^{2}\right)=-18, \end{array}\right.\right. $$
解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=3 \text {，故数列 }\left\{a_{n}\right\} \text { 的通项公式为 } a_{n}=3(-2)^{n-1} \text {．}\end{array}\right.$
（II）由（I）有 $S_{n}=\frac{3 \cdot\left[1-\left(-\frac{2}{2}\right]\right]}{1-(-2)}=1-(-2)$．
若存在 $n$，使得 $S_{n} \geq 2013$，则 $1-(-2)^{n} \geq 2013$，即 $(-2)^{n} \leq-2012$．
当 $n$ 为偶数时，$(-2)^{n}>0$，上式不成立；
当 $n$ 为奇数时，$(-2)^{n}=-2^{n} \leq-2012$，即 $2^{n} \geq 2012$，则 $n \geq 11$．
综上，存在符合条件的正整数 $n$，且所有这样的 $n$ 的集合为 $\{n \mid n=2 k+1, k \in \mathbf{N}, k \geq 5\}$．
［ 考点定位］本题考查等比等差数列的性质，考查分析问题和计算能力。