设 0<a<1，则随机变量 X 的分布列是： | X |…——2019 高考数学第 7 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】

研究方差随 $a$ 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 $a$ 表示，应用函数知识求解。本题根据方差与期望的关系，将方差表示为 $a$ 的二次函数，二测函数的图象和性质解题。题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查．
【详解】方法 1：由分布列得 $E(X)=\frac{1+a}{3}$ ，则
$D(X)=\left(\frac{1+a}{3}-0\right)^{2} \times \frac{1}{3}+\left(\frac{1+a}{3}-a\right)^{2} \times \frac{1}{3}+\left(\frac{1+a}{3}-1\right)^{2} \times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{6}$ ，则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时，$D(X)$ 先减小后增大．

方法 2：则 $D(X)=E\left(X^{2}\right)-E(X)=0+\frac{a^{2}}{3}+\frac{1}{3}-\frac{(a+1)^{2}}{9}=\frac{2 a^{2}-2 a+2}{9}=\frac{2}{9}\left[\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}\right]$
故选 D．
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力

差，不能正确得到二次函数表达式．