（14 分）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，椭圆…——2017 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（14 分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为

8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 $\mathrm{F}_{1}$ 作直线 $\mathrm{PF}_{1}$ 的垂线 $\mathrm{I}_{1}$ ，过点 $\mathrm{F}_{2}$ 作直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 的垂线 $\mathrm{I}_{2}$ ．
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若直线 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．

【分析】①由椭圆的离心率公式求得 $a=2 c$ ，由椭圆的准线方程 $x= \pm \frac{2 a^{2}}{c}$ ，则 2 $\times \frac{2 a^{2}}{c}=8$ ，即可求得 $a$ 和 $c$ 的值，则 $b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$ ，即可求得椭圆方程；
②设 $P$ 点坐标，分别求得直线 $P F_{2}$ 的斜率及直线 $P F_{1}$ 的斜率，则即可求得 $I_{2}$及 $\mathrm{I}_{1}$ 的斜率及方程，联立求得 Q 点坐标，由 Q 在椭圆方程，求得 $\mathrm{y}_{0}{ }^{2}=\mathrm{x}_{0}{ }^{2}-1$ ，联立即可求得 $P$ 点坐标；

**方法二**：设 $P(m, n)$ ，当 $m \neq 1$ 时，$k_{P_{2}}=\frac{n}{m-1}, k_{P_{1}}=\frac{n}{m+1}$ ，求得直线 $\mathrm{l}_{1}$ 及 $\mathrm{l}_{1}$的方程，联立求得 $Q$ 点坐标，根据对称性可得 $\frac{m^{2}-1}{n}= \pm n^{2}$ ，联立椭圆方程，即可求得 $P$ 点坐标．

【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{1}{2}$ ，则 $\mathrm{a}=2 \mathrm{c}$ ，（1）
椭圆的准线方程 $x= \pm \frac{a^{2}}{c}$ ，由 $2 \times \frac{a^{2}}{c}=8$ ，②
由①②解得： $\mathrm{a}=2, \mathrm{c}=1$ ，
则 $b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$ ，
∴ 椭圆的标准方程：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ；
**方法一**：设 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ ，则直线 $\mathrm{PF}_{2}$ 的斜率 $\mathrm{k}_{\mathrm{PF}_{2}}=\frac{\mathrm{y}_{0}}{\mathrm{x}_{0}-1}$ ，
则直线 $\mathrm{I}_{2}$ 的斜率 $\mathrm{k}_{2}=-\frac{\mathrm{x}_{0}-1}{\mathrm{y}_{0}}$ ，直线 $\mathrm{I}_{2}$ 的方程 $\mathrm{y}=-\frac{\mathrm{x}_{0}-1}{\mathrm{y}_{0}}(\mathrm{x}-1)$ ，
直线 $\mathrm{PF}_{1}$ 的斜率 $\mathrm{k}_{\mathrm{PF}_{1}}=\frac{\mathrm{y}_{0}}{\mathrm{x}_{0}+1}$ ，
则直线 $\mathrm{I}_{2}$ 的斜率 $\mathrm{k}_{2}=-\frac{\mathrm{x}_{0}+1}{\mathrm{y}_{0}}$ ，直线 $\mathrm{I}_{2}$ 的方程 $\mathrm{y}=-\frac{\mathrm{x}_{0}+1}{\mathrm{y}_{0}}(\mathrm{x}+1)$ ，

联立 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x_{0}-1}{y_{0}}(x-1) \\ y=\frac{x_{0}+1}{y_{0}}(x+1)\end{array}\right.$ ，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=-x_{0} \\ y=\frac{x_{0}^{2}-1}{y_{0}}\end{array}\right.$ 则 $Q\left(-x_{0}, \frac{x_{0}^{2}-1}{y_{0}}\right)$ ，
由 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 在椭圆上， $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则 $\mathrm{y}_{0}=\frac{\mathrm{x}_{0}^{2}-1}{\mathrm{y}_{0}}$ ，
$\therefore \mathrm{y}_{0}{ }^{2}=\mathrm{x}_{0}{ }^{2}-1$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{3}=1 \\ y_{0}^{2}=x_{0}^{2}-1\end{array}\right.$ ，解得：$\left\{\begin{array}{l}x_{0}^{2}=\frac{16}{7} \\ y_{0}^{2}=\frac{9}{7}\end{array}\right.$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}= \pm \frac{4 \sqrt{7}}{7} \\ y_{0}= \pm \frac{3 \sqrt{7}}{7}\end{array}\right.$ ，
又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为：
$P\left(\frac{4 \sqrt{7}}{7}, \frac{3 \sqrt{7}}{7}\right)$ ．

**方法二**：设 $\mathrm{P}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$ ，由 P 在第一象限，则 $\mathrm{m}>0, \mathrm{n}>0$ ，
当 $\mathrm{m}=1$ 时， $\mathrm{k}_{\mathrm{PF}_{2}}$ 不存在，解得： Q 与 $\mathrm{F}_{1}$ 重合，不满足题意，
当 $m \neq 1$ 时，$k_{P_{2}}=\frac{n}{m-1}, k_{P F_{1}}=\frac{n}{m+1}$ ，
由 $\mathrm{I}_{1} \perp \mathrm{PF}_{1}, \mathrm{I}_{2} \perp \mathrm{PF}_{2}$ ，则 $\mathrm{k}_{1_{1}}=-\frac{\mathrm{m}+1}{\mathrm{n}}, \mathrm{k}_{1_{2}}=-\frac{\mathrm{m}-1}{\mathrm{n}}$ ，
直线 $\mathrm{I}_{1}$ 的方程 $\mathrm{y}=-\frac{\mathrm{m}+1}{\mathrm{n}}(\mathrm{x}+1)$ ，（1）直线 $\mathrm{I}_{2}$ 的方程 $\mathrm{y}=-\frac{\mathrm{m}-1}{\mathrm{n}}(\mathrm{x}-1)$ ，（2）
联立解得：$x=-m$ ，则 $Q\left(-m, \frac{m^{2}-1}{n}\right)$ ，
由 $Q$ 在椭圆方程，由对称性可得：$\frac{m^{2}-1}{n}= \pm n^{2}$ ，

即 $m^{2}-n^{2}=1$ ，或 $m^{2}+n^{2}=1$ ，
由 $P(m, n)$ ，在椭圆方程，$\left\{\begin{array}{l}m^{2}-1=n^{2} \\ \frac{m^{2}}{4}+\frac{n^{2}}{3}=1\end{array}\right.$ ，解得：$\left\{\begin{array}{l}m^{2}=\frac{16}{7} \\ n^{2}=\frac{9}{7}\end{array}\right.$ ，或 $\left\{\begin{array}{l}1-m^{2}=n^{2} \\ \frac{m^{2}}{4}+\frac{n^{2}}{3}=1\end{array}\right.$ ，无
解，
又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为：
$P\left(\frac{4 \sqrt{7}}{7}, \frac{3 \sqrt{7}}{7}\right)$ 。
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题。