【解答】
本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 $n$ 项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分 14 分。
（ I ）解：由题设，可得 $a_{n}=2 n-1, b_{n}=3^{n-1}, n \in N^{*}$
所以，$S_{3}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}=1 \times 1+3 \times 3+5 \times 9=55$
（II）证明：由题设可得 $b_{n}=q^{n-1}$ 则
$$
\begin{aligned}
& S_{2 n}=a_{1}+a_{2} q+a_{3} q^{2}+\ldots . .+a_{2 n} q^{2 n-1} \\
& T_{2 n}=a_{1}-a_{2} q+a_{3} q^{2}-a_{4} q^{3}+\ldots . .-a_{2 n} q^{2 n-1} \\
& S_{2 n}-T_{2 n}=2\left(a_{2} q+a_{4} q^{3}+\ldots-a_{2 n} q^{2 n-1}\right)
\end{aligned}
$$
①式减去②式，得
①式加上②式，得
$$
S_{2 n}+T_{2 n}=2\left(a_{1}+a_{3} q^{2}+\ldots .+a_{2 n-1} q^{2 n-2}\right)
$$
（2）式两边同乘 q ，得
$$
q\left(S_{2 n}+T_{2 n}\right)=2\left(a_{1} q+a_{3} q^{3}+\ldots .+a_{2 n-1} q^{2 n-1}\right)
$$
所以，
$$
\begin{aligned}
(1-q) S_{2 n}-(1+q) T_{2 n} & =\left(S_{2 n}-T_{2 n}\right)-q\left(S_{2 n}+T_{2 n}\right) \\
& =2 d\left(q+q^{3}+\mathrm{K}+q^{2 n-1}\right) \\
& =\frac{2 d q\left(1-q^{2 n}\right)}{1-q^{2}}, n \in N^{*}
\end{aligned}
$$
（III）证明：$c_{1}-c_{2}=\left(a_{k_{1}}-a_{l_{1}}\right) b_{1}+\left(a_{k_{2}}-a_{l_{2}}\right) b_{2}+\mathrm{K}+\left(a_{k_{n}}-a_{l_{n}}\right) b_{n}$
$$
=\left(k_{1}-l_{1}\right) d b_{1}+\left(k_{2}-l_{2}\right) d b_{1} q+\mathrm{K}+\left(k_{n}-l_{n}\right) d b_{1} q^{n-1}
$$
因为 $d \neq 0, b_{1} \neq 0$ ，所以
$$
\frac{c_{1}-c_{2}}{d b_{1}}=\left(k_{1}-l_{1}\right)+\left(k_{2}-l_{2}\right) q+\mathrm{K}+\left(k_{n}-l_{n}\right) q^{n-1}
$$
①$\quad$ 若 $k_{n} \neq l_{n}$ ，取 $\mathrm{i}=\mathrm{n}$
②若 $k_{n}=l_{n}$ ，取 i 满足 $k_{i} \neq l_{i}$ 且 $k_{j}=l_{j}, i+1 \leq j \leq n$
由①，②及题设知， $1
$$
\frac{c_{1}-c_{2}}{d b_{1}}=\left(k_{1}-l_{1}\right)+\left(k_{2}-l_{2}\right) q+\mathrm{K}\left(k_{i-1}-l_{i-1}\right) q^{i-2}+\left(k_{i}-l_{i}\right) q^{i-1}
$$
（1）当 $k_{i}即 $k_{1}-l_{1} \leq q-1,\left(k_{2}-l_{2}\right) q \leq q(q-1) \cdots,\left(k_{i-1}-l_{i-1}\right) q^{i-2} \leq q^{i-2}(q-1)$
又 $\left(k_{i}-l_{i}\right) q^{i-1} \leq-q^{i-1}$ ，所以
$$
\frac{c_{1}-c_{2}}{d b_{1}}=(q-1)+(q-1) q+\mathrm{K}(q-1) q^{i-2}-q^{i-1}=(q-1) \frac{1-q^{i-1}}{1-q}
$$
因此 $c_{1}-c_{2} \neq 0$ ，即 $c_{1} \neq c_{2}$
（2）当 $k_{i}>l_{i}$ 同理可得 $\frac{c_{1}-c_{2}}{d b_{1}}<-1$ ，因此 $c_{1} \neq c_{2}$
综上，$c_{1} \neq c_{2}$
选择填空解析
## 2008年天津市高考数学试卷（理科）