椭圆 : x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 =1…——2013 高考数学第 14 题答案解析

［答案］$\sqrt{3}-1$
［解析］注意到直线过点 $(-c, 0)$ 即为左焦点 $F_{1}$，又斜率为 $\sqrt{3}$，所以倾斜角为 $60^{\circ}$，即 $\angle M F_{1} F_{2}=60^{\circ}$。
又 $\angle M F_{1} F_{2}=2 \angle M F_{2} F_{1}$ 故 $\angle M F_{2} F_{1}=30^{\circ}$，那么 $\angle F_{2} M F_{1}=90^{\circ}$。
$M F_{1}=F_{1} F_{2} \cdot \cos 60^{\circ}=2 c \cdot \frac{1}{2}=c, \quad M F_{2}=F_{1} F_{2} \cdot \sin 60^{\circ}=2 c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} c$,
$e=\frac{2 c}{2 a}=\frac{2 c}{M F_{1}+M F_{2}}=\frac{2 c}{\sqrt{3} c+c}=\sqrt{3}-1$．
［ 考点定位］考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征。属于难题。