2011_浙江卷 (2011·文)
10．（5 分）（2011 •浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}(\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b}, ~ \mathrm{c} \in \mathrm{R})$ ，若 $\mathrm{x}=-1$ 为函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}$ ）$e^{x}$ 的一个极值点，则下列图象不可能为 $y=f(x)$ 的图象是（）
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．
【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】先求出函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 的导函数，利用 $\mathrm{x}=-1$ 为函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 的一个极值点可得 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ ， c 之间的关系，再代入函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ ，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可。
【解答】解：由 $y=f(x) e^{x}=e^{x}\left(a x^{2}+b x+c\right) \Rightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x) e^{x}+e^{x} f(x)=e^{x}\left[a x^{2}+(b+2 a) x+b+c\right.$ ］，
由 $x=-1$ 为函数 $f(x) e^{x}$ 的一个极值点可得，-1 是方程 $a x^{2}+(b+2 a) x+b+c=0$ 的一个根，所以有 $\mathrm{a}-(\mathrm{b}+2 \mathrm{a})+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0 \Rightarrow \mathrm{c}=\mathrm{a}$ 。
法一：所以函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{a}$ ，对称轴为 $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}$ ，且 $\mathrm{f}(-1)=2 \mathrm{a}-\mathrm{b}, \mathrm{f}(0)=\mathrm{a}$ ．
对于 $A$ ，由图得 $a>0, f(0)>0, f(-1)=0$ ，不矛盾，
对于 B ，由图得 $\mathrm{a}<0, \mathrm{f}(0)<0, \mathrm{f}(-1)=0$ ，不矛盾，
对于 $C$ ，由图得 $a<0, f(0)<0, x=-\frac{b}{2 a}>0 \Rightarrow b>0 \Rightarrow f(-1)<0$ ，不矛盾，
对于 $D$ ，由图得 $a>0, f(0)>0, x=-\frac{b}{2 a}<-1 \Rightarrow b>2 a \Rightarrow f(-1)<0$ 与原图中 $f(-1)>$ 0 矛盾， D 不对。
法二：所以函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{a}$ ，由此得函数相应方程的两根之积为 1 ，对照四个选项发现，D不成立。
故选：D．
【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等 0 即可。可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点。