（本小题满分 12 分） 设函数 f(x)=6 x^ 3…——2010 高考数学第 17 题答案解析

【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识
解：

$$ f^{\prime}(x)=18 x^{2}+6(a+2) x+2 a $$

①由已知有 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$ ，从而 $x_{1} x_{2}=\frac{2 a}{18}=1$ ，所以 $a=9$ ；
②由 $\Delta=36(a+2)^{2}-4 \times 18 \times 2 a=36\left(a^{2}+4\right)>0$ ，所以不存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $R$ 上的单调函数．

【解答】
（本小题满分 12 分）
解：$f^{\prime}(x)=18 x^{2}+6(a+2) x+2 a$
①由已知有 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$ ，从而 $x_{1} x_{2}=\frac{2 a}{18}=1$ ，所以 $a=9$ ；
②由 $\Delta=36(a+2)^{2}-4 \times 18 \times 2 a=36\left(a^{2}+4\right)>0$ ，所以不存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $R$ 上的单调函数．

【解答】
（本小题满分 12 分）
解：$f^{\prime}(x)=18 x^{2}+6(a+2) x+2 a$
①由已知有 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$ ，从而 $x_{1} x_{2}=\frac{2 a}{18}=1$ ，所以 $a=9$ ；
②由 $\Delta=36(a+2)^{2}-4 \times 18 \times 2 a=36\left(a^{2}+4\right)>0$ ，
所以不存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $R$ 上的单调函数．

【解答】
（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=6 x^{3}+3(a+2) x^{2}+2 a x$ ．
（1）若 $f(x)$ 的两个极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2}=1$ ，求实数 $a$ 的值；
（2）是否存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由。
【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识
解：$f^{\prime}(x)=18 x^{2}+6(a+2) x+2 a$
①由已知有 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$ ，从而 $x_{1} x_{2}=\frac{2 a}{18}=1$ ，所以 $a=9$ ；
②由 $\Delta=36(a+2)^{2}-4 \times 18 \times 2 a=36\left(a^{2}+4\right)>0$ ，
所以不存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $R$ 上的单调函数．

【解答】
（本小题满分 12 分）
解：$f^{\prime}(x)=18 x^{2}+6(a+2) x+2 a$
①由已知有 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$ ，从而 $x_{1} x_{2}=\frac{2 a}{18}=1$ ，所以 $a=9$ ；
②由 $\Delta=36(a+2)^{2}-4 \times 18 \times 2 a=36\left(a^{2}+4\right)>0$ ，
所以不存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $R$ 上的单调函数．