（本小题满分 12 分，（1）小问 7 分，（2）小问 5…——2015 高考数学第 20 题答案解析

【答案】①$a=0$，切线方程为 $3 x-e y=0$；②$\left[-\frac{9}{2},+\infty\right)$．
【解析】
试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得 $f^{\prime}(x)=\frac{-3 x^{2}+(6-a) x+a}{e^{x}}$，由已知得 $f^{\prime}(0)=0$，可得 $a=0$，于是有 $f(x)=\frac{3 x^{2}}{e^{x}}, f^{\prime}(x)=\frac{-3 x^{2}+6 x}{e^{x}}, f(1)=\frac{3}{e}, f^{\prime}(1)=\frac{3}{e}$，由点斜式可得切线方程；②由题意 $f^{\prime}(x) \leq 0$ 在 $[3,+\infty)$ 上恒成立，即 $g(x)=-3 x^{2}+(6-a) x+a \leq 0$ 在 $[3,+\infty)$ 上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由 $\left\{\begin{array}{l}\frac{6-a}{6} \leq 3 \\ g(3) \leq 0\end{array}\right.$ 得 $a \geq-\frac{9}{2}$．

试题解析：（1）对 $f(x)$ 求导得 $f^{\prime}(x)=\frac{(6 x+a) e^{x}-\left(3 x^{2}+a x\right) e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}=\frac{-3 x^{2}+(6-a) x+a}{e^{x}}$
因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极值，所以 $f^{\prime}(0)=0$，即 $a=0$．
当 $a=0$ 时，$f(x)=\frac{3 x^{2}}{e^{x}}, f^{\prime}(x)=\frac{-3 x^{2}+6 x}{e^{x}}$，故 $f(1)=\frac{3}{e}, f^{\prime}(1)=\frac{3}{e}$，从而 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y-\frac{3}{e}=\frac{3}{e}(x-1)$，化简得 $3 x-e y=0$
②由①得，$f^{\prime}(x)=\frac{-3 x^{2}+(6-a) x+a}{e^{x}}$，
令 $\mathrm{g}(x)=-3 x^{2}+(6-a) x+a$
由 $\mathrm{g}(x)=0$，解得 $x_{1}=\frac{6-a-\sqrt{a^{2}+36}}{6}, x_{2}=\frac{6-a+\sqrt{a^{2}+36}}{6}$．
当 $x当 $x_{1}0$，故 $f(x)$ 为增函数；
当 $x>x_{2}$ 时， $\mathrm{g}(x)<0$，故 $f(x)$ 为减函数；
由 $f(x)$ 在 $[3,+\infty)$ 上为减函数，知 $x_{2}=\frac{6-a+\sqrt{a^{2}+36}}{6} \leq 3$，解得 $a \geq-\frac{9}{2}$
故 $a$ 的取值范围为 $\left[-\frac{9}{2},+\infty\right)$
【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力。
【名师点晴】导数及其应用通常围绕四个点进行命题。第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数

性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质。