（5分）若函数 f(x)=x- 1 3 sin 2 x+a…——2016 高考数学第 12 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．
【分析】求出 $f(x)$ 的导数，由题意可得 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 恒成立，设 $t=\cos x(-1 \leq t \leq 1$ ），即有 $5-4 \mathrm{t}^{2}+3 \mathrm{at} \geq 0$ ，对 t 讨论，分 $\mathrm{t}=0,0<\mathrm{t} \leq 1,-1 \leq \mathrm{t}<0$ ，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：函数 $f(x)=x-\frac{1}{3} \sin 2 x+a \sin x$ 的导数为 $f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{3} \cos 2 x+a \cos x$ ，
由题意可得 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 恒成立，
即为 $1-\frac{2}{3} \cos 2 x+a \cos x \geq 0$ ，
即有 $\frac{5}{3}-\frac{4}{3} \cos ^{2} x+a \cos x \geq 0$ ，
设 $t=\cos x(-1 \leq t \leq 1)$ ，即有 $5-4 t^{2}+3 a t \geq 0$ ，
当 $\mathrm{t}=0$ 时，不等式显然成立；
当 $0<t \leq 1$ 时，$\quad 3 a \geq 4 t-\frac{5}{t}$ ，
由 $4 t-\frac{5}{t}$ 在 $(0,1]$ 递增，可得 $t=1$ 时，取得最大值 -1 ，
可得 $3 a \geq-1, ~$ 即 $a \geq-\frac{1}{3}$ ；
当 $-1 \leq \mathrm{t}<0$ 时，$\quad 3 \mathrm{a} \leq 4 \mathrm{t}-\frac{5}{\mathrm{t}}$ ，
由 $4 t-\frac{5}{t}$ 在 $[-1,0)$ 递增，可得 $t=-1$ 时，取得最小值 1 ，
可得 $3 a \leq 1$ ，即 $a \leq \frac{1}{3}$ 。
综上可得 a 的范围是 $\left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]$ ．
另解：设 $t=\cos x(-1 \leq t \leq 1)$ ，即有 $5-4 t^{2}+3 a t \geq 0$ ，

由题意可得5－4＋3a $\geq 0$ ，且5－4－3a $\geq 0$ ，
解得 a 的范围是 $\left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]$ ．
故选：C．
【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．