（13 分）A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物…——2015 高考数学第 16 题答案解析

【考点】BC：极差、方差与标准差；CB：古典概型及其概率计算公式．

【专题】51：概率与统计．
【分析】设事件 $A_{i}$ 为＂甲是 $A$ 组的第 $i$ 个人＂，事件 $B_{i}$ 为＂乙是 $B$ 组的第 $i$ 个人＂，由题意可知 $P\left(A_{i}\right)=P\left(B_{i}\right)=\frac{1}{7}, i=1,2, \cdots, 7$
（I）事件等价于＂甲是 A 组的第 5 或第 6 或第 7 个人＂，由概率公式可得；
（II）设事件＂甲的康复时间比乙的康复时间长＂$C=A_{4} B_{1} \cup A_{5} B_{1} \cup A_{6} B_{1} \cup A_{7} B_{1} \cup A_{5} B_{2} \cup A_{6} B_{2} \cup A_{7} B_{2} \cup A_{7} B_{3} \cup A_{6} B_{6} \cup A_{7} B_{6}$ ，易得 $P(C)=10 P\left(A_{4} B_{1}\right)$ ，易得答案；
（III）由方差的公式可得。
【解答】解：设事件 $A_{i}$ 为＂甲是 $A$ 组的第 $i$ 个人＂，事件 $B_{i}$ 为＂乙是 $B$ 组的第 $i$ 个人＂，

由题意可知 $P\left(A_{i}\right)=P\left(B_{i}\right)=\frac{1}{7}, i=1,2, \cdots, 7$
（I）事件＂甲的康复时间不少于 14 天＂等价于＂甲是 A 组的第 5 或第 6 或第 7 个人＂
∴ 甲的康复时间不少于 14 天的概率 $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{5} \cup \mathrm{~A}_{6} \cup \mathrm{~A}_{7}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{5}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{6}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{7}\right) =\frac{3}{7} ;$
（II）设事件 C 为＂甲的康复时间比乙的康复时间长＂，
则 $C=A_{4} B_{1} \cup A_{5} B_{1} \cup A_{6} B_{1} \cup A_{7} B_{1} \cup A_{5} B_{2} \cup A_{6} B_{2} \cup A_{7} B_{2} \cup A_{7} B_{3} \cup A_{6} B_{6} \cup A_{7} B_{6}$ ，
$\therefore P(C)=P\left(A_{4} B_{1}\right)+P\left(A_{5} B_{1}\right)+P\left(A_{6} B_{1}\right)+P\left(A_{7} B_{1}\right)+P\left(A_{5} B_{2}\right)+P\left(A_{6} B_{2}\right)+P \left(A_{7} B_{2}\right)+P\left(A_{7} B_{3}\right)+P\left(A_{6} B_{6}\right)+P\left(A_{7} B_{6}\right)$
$=10 P\left(A_{4} B_{1}\right)=10 P\left(A_{4}\right) P\left(B_{1}\right)=\frac{10}{49}$
（III）当 a 为 11 或 18 时，A，B 两组病人康复时间的方差相等。
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题。