2011_北京卷 (2011·文)
16．（本小题共13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示。
| 甲组 | 乙组 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 9 | 9 | 0 | $X$ | 8 | 9 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
（1）如果 $\mathrm{x}=8$ ，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果 $x=9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率．
（注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\vec{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\vec{x}\right)^{2}+\cdots\left(x_{n}-\vec{x}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\vec{x}$ 为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的平均数）
【解答】
（共13分）
解（1）当 $\mathrm{x}=8$ 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是： $8,8,9,10$ ，所以平均数为
$$ \vec{x}=\frac{8+8+9+10}{4}=\frac{35}{4} ; $$
方差为
$$ s^{2}=\frac{1}{4}\left[\left(8-\frac{35}{4}\right)^{2}+\left(9-\frac{35}{4}\right)^{2}+\left(10-\frac{35}{4}\right)^{2}\right]=\frac{11}{16} . $$
（II）记甲组四名同学为 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \mathrm{~A}_{3}, \mathrm{~A}_{4}$ ，他们植树的棵数依次为 $9,9,11,11$ ；乙组四名同学为 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ ，他们植树的棵数依次为 $9,8,9,10$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有 16 个，它们是：
$$ \begin{array}{lllllll} \left(A_{1}, B_{1}\right), & \left(A_{1}, B_{2}\right), & \left(A_{1}, B_{3}\right), & \left(A_{1}, B_{4}\right), \\ \left(A_{2}, B_{1}\right), & \left(A_{2}, B_{2}\right), & \left(A_{2}, B_{3}\right), & \left(A_{2}, B_{4}\right), \\ \left(A_{3}, B_{1}\right), & \left(A_{2}, B_{2}\right), & \left(A_{3}, B_{3}\right), & \left(A_{1}, B_{4}\right), \\ \left(A_{4}, B_{1}\right), & \left(A_{4}, B_{2}\right), & \left(A_{4}, B_{3}\right), & \left(A_{4}, B_{4}\right), \end{array} $$
用 $C$ 表示：＂选出的两名同学的植树总棵数为 19 ＂这一事件，则 $C$ 中的结果有 4 个，它们是：（ $A \left.{ }_{1}, \mathrm{~B}_{4}\right),\left(\mathrm{A}_{2}, \mathrm{~B}_{4}\right),\left(\mathrm{A}_{3}, \mathrm{~B}_{2}\right),\left(\mathrm{A}_{4}, \mathrm{~B}_{2}\right)$ ，故所求概率为 $P(C)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$ ．