袋中有 4 个红球 m 个黄球， n 个绿球．现从中任取两…——2021 高考数学第 15 题答案解析

【答案】
①． 1 ②．$\frac{8}{9}$

【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得 $m, n$ 的值，再根据随机变量 $\xi$ 的分布列即可求出 $E(\xi)$ ．
【详解】 $P(\xi=2)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{m+n+4}^{2}}=\frac{6}{C_{m+n+4}^{2}}=\frac{1}{6} \Rightarrow C_{m+n+4}^{2}=36$ ，所以 $m+n+4=9$ ，
$P($ 一红一黄 $)=\frac{C_{4}^{1} \cdot C_{m}^{1}}{C_{m+n+4}^{2}}=\frac{4 m}{36}=\frac{m}{9}=\frac{1}{3} \Rightarrow m=3$ ，所以 $n=2$ ，则 $m-n=1$ ．
由于 $P(\xi=2)=\frac{1}{6}, P(\xi=1)=\frac{C_{4}^{1} \cdot C_{5}^{1}}{C_{9}^{2}}=\frac{4 \times 5}{36}=\frac{5}{9}, P(\xi=0)=\frac{C_{5}^{2}}{C_{9}^{2}}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$
$\therefore E(\xi)=\frac{1}{6} \times 2+\frac{5}{9} \times 1+\frac{5}{18} \times 0=\frac{1}{3}+\frac{5}{9}=\frac{8}{9}$ ．
故答案为： $1 ; \frac{8}{9}$ ．