20．（2009 浙江理 20）如图，平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C, ~ \triangle A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，
$E, F, O$ 分别为 $P A, P B, A C$ 的中点，$A C=16, P A=P C=10$ ．
①设 $G$ 是 $O C$ 的中点，证明：$F G / /$ 平面 $B O E$ ；
（II）证明：在 $\triangle A B O$ 内存在一点 $M$ ，使 $F M \perp$ 平面 $B O E$ ，并求点 $M$ 到 $O A, O B$ 的距离．
参考答案证明：①如图，连结 OP ，以 O 为坐标原点，分别以 $\mathrm{OB} 、 \mathrm{OC} 、 \mathrm{OP}$ 所在直线为 $x$ 轴，$y$轴，$z$ 轴 ，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 $\mathrm{O}^{-x y z}$ ，则 $O(0,0,0), A(0,-8,0), B(8,0,0), C(0,8,0), P(0,0,6), E(0,-4,3), F(4,0,3)$ ，由题意得， $G(0,4,0)$ ，因 $\overrightarrow{O B}=(8,0,0), \overrightarrow{O E}=(0,-4,3)$ ，因此平面 $B O E$ 的法向量为 $\vec{n}=(0,3,4)$ ， $\overrightarrow{F G}=(-4,4,-3$ 得 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{F G}=0$ ，又直线 $F G$ 不在平面 $B O E$ 内，因此有 $F G / /$ 平面 $B O E$ （II）  设点 M 的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}, 0\right)$ ，则 $\overrightarrow{F M}=\left(x_{0}-4, y_{0},-3\right)$ ，因为 $F M \perp$ 平面 BOE，所以有 $\overrightarrow{F M} / / \vec{n}$ ，因此有 $x_{0}=4, y_{0}=-\frac{9}{4}$ ，即点 M 的坐标为 $\left(4,-\frac{9}{4}, 0\right)$ ，在平面直角坐标系 $x o y_{\text {中，} \triangle A O B \text { 的内部 }}$区域满足不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x>0 \\ y<0 \\ x-y<8\end{array}\right.$ ，经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组，所以在 $\Delta A B O$ 内存在一点 $M$ ，使 $F M \perp$ 平面 $B O E$ ，由点 M 的坐标得点 $M$ 到 $O A, O B$ 的距离为 $4, \frac{9}{4}$
