设 O 为坐标原点，直线 y=- 3 (x-1) 过抛物线…——2023 高考数学第 10 题答案解析

【答案】AC
【解析】
【分析】先求得焦点坐标，从而求得 $p$ ，根据弦长公式求得 $|M N|$ ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案。

【详解】 A 选项：直线 $y=-\sqrt{3}(x-1)$ 过点 $(1,0)$ ，所以抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F(1,0)$ ，所以 $\frac{p}{2}=1, p=2,2 p=4$ ，则 A 选项正确，且抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=4 x$ ．

B 选项：设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}(x-1) \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ 消去 $y$ 并化简得 $3 x^{2}-10 x+3=(x-3)(3 x-1)=0$ ，
解得 $x_{1}=3, x_{2}=\frac{1}{3}$ ，所以 $|M N|=x_{1}+x_{2}+p=3+\frac{1}{3}+2=\frac{16}{3}$ ， B 选项错误。
C 选项：设 $M N$ 的中点为 $\mathrm{A}, M, N, A$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $d_{1}, d_{2}, d$ ，

因为 $d=\frac{1}{2}\left(d_{1}+d_{2}\right)=\frac{1}{2}(|M F|+|N F|)=\frac{1}{2}|M N|$ ，
即 A 到直线 $l$ 的距离等于 $M N$ 的一半，所以以 $M N$ 为直径的圆与直线 $l$ 相切， C 选项正确．
D 选项：直线 $y=-\sqrt{3}(x-1)$ ，即 $\sqrt{3} x+y-\sqrt{3}=0$ ，
$O$ 到直线 $\sqrt{3} x+y-\sqrt{3}=0$ 的距离为 $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

所以三角形 $O M N$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times \frac{16}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，
由上述分析可知 $y_{1}=-\sqrt{3}(3-1)=-2 \sqrt{3}, y_{2}=-\sqrt{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，
所以 $|O M|=\sqrt{3^{2}+(-2 \sqrt{3})^{2}}=\sqrt{21},|O N|=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{3}$ ，
所以三角形 $O M N$ 不是等腰三角形，D 选项错误。
故选：AC