13．（5 分）（2016 • 山东）已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，若矩形 $A B C D$ 的四个顶点在 E 上， $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 的中点为 E 的两个焦点，且 $2|\mathrm{AB}|=3|\mathrm{BC}|$ ，则 E 的离心率是 $\_\_\_\_$ ．
参考答案
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（5 分）（2016 • 山东）已知双曲线 E: x^ 2…——2016 高考数学第 13 题答案解析
2016_退役省自主命题 (2016·理)
完整解析 · 逐步详解
【解答】
（5 分）（2016 • 山东）已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 的中点为 E 的两个焦点，且 $2|\mathrm{AB}|=3|\mathrm{BC}|$ ，则 E 的离心率是 $\_\_\_\_$ 2。
【考点】双曲线的简单性质。
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】可令 $\mathrm{x}=\mathrm{c}$ ，代入双曲线的方程，求得 $\mathrm{y}= \pm \frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}}$ ，再由题意设出 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 的坐标，由 $2|A B|=3|B C|$ ，可得 $a, b, c$ 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：令 $x=c$ ，代入双曲线的方程可得 $y= \pm b \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}-1}= \pm \frac{b^{2}}{a}$ ，由题意可设 $\mathrm{A}\left(-\mathrm{c}, \frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}}\right), \mathrm{B}\left(-\mathrm{c},-\frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}}\right), \mathrm{C}\left(\mathrm{c},-\frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}}\right), \mathrm{D}\left(\mathrm{c}, \frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}}\right)$ ，
由 $2|\mathrm{AB}|=3|\mathrm{BC}|$ ，可得
$2 \cdot \frac{2 \mathrm{~b}^{2}}{\mathrm{a}}=3 \cdot 2 \mathrm{c}$ ，即为 $2 \mathrm{~b}^{2}=3 \mathrm{ac}$ ，
由 $b^{2}=c^{2}-a^{2}, ~ e=\frac{c}{a}$ ，可得 $2 e^{2}-3 e-2=0$ ，
解得 $e=2$（负的舍去）．
故答案为： 2 。
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题。
✅ 来源：2016年 · 全国 · 2016_退役省自主命题 (2016·理) · 第 13 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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