（14分）（2016•天津）设椭圆 x^ 2 a^ 2 +…——2016 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴交于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A=\angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率．
【分析】①由题意画出图形，把 $|\mathrm{OF}| ,|\mathrm{OA}| ,|\mathrm{FA}|$ 代入 $\frac{1}{|\mathrm{OF}|}+\frac{1}{|\mathrm{OA}|}=\frac{3 \mathrm{e}}{|\mathrm{FA}|}$ ，转化为关于 a 的方程，解方程求得 a 值，则椭圆方程可求；
②由已知设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2), ~(k \neq 0)$ ，联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 B 的坐标，再写出 MH 所在直线方程，求出 H的坐标，由 $B F \perp H F$ ，得 $\overrightarrow{B F} \cdot \overrightarrow{H F}=\left(1-x_{1},-y_{1}\right) \cdot\left(1,-y_{H}\right)=0$ ，整理得到 $M$ 的坐标与 $k$ 的关系，由 $\angle M O A=\angle M A O$ ，得到 $x_{0}=1$ ，转化为关于 $k$ 的等式求得 $k$ 的值．
【解答】解：（1）由 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，
得 $\frac{1}{\sqrt{a^{2}-3}}+\frac{1}{a}=\frac{3 \cdot \frac{\sqrt{a^{2}-3}}{a}}{a-\sqrt{a^{2}-3}}$ ，

即 $\frac{a+\sqrt{a^{2}-3}}{a \cdot \sqrt{a^{2}-3}}=\frac{3 \sqrt{a^{2}-3}}{a\left(a-\sqrt{a^{2}-3}\right)}$ ，
$\therefore a\left[a^{2}-\left(a^{2}-3\right)\right]=3 a\left(a^{2}-3\right)$ ，解得 $a=2$ 。
∴ 椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ；
②由已知设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2), ~(k \neq 0)$ ，
设 $B\left(x_{1}, y_{1}\right), M\left(x_{0}, k\left(x_{0}-2\right)\right)$ ，
$\because \angle \mathrm{MOA}=\angle \mathrm{MAO}$ ，
$\therefore \mathrm{x}_{0}=1$ ，
再设 $H\left(0, y_{H}\right)$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-2) \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$ ，得 $\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}-16 k^{2} x+16 k^{2}-12=0$ ．
$\Delta=\left(-16 \mathrm{k}^{2}\right)^{2}-4\left(3+4 \mathrm{k}^{2}\right)\left(16 \mathrm{k}^{2}-12\right)=144>0$ ．
由根与系数的关系得 $2 \mathrm{x}_{1}=\frac{16 \mathrm{k}^{2}-12}{3+4 \mathrm{k}^{2}}$ ，
$\therefore x_{1}=\frac{8 k^{2}-6}{3+4 k^{2}}, \quad y_{1}=k\left(x_{1}-2\right)=\frac{-12 k}{3+4 k^{2}}$,
$M H$ 所在直线方程为 $y-k\left(x_{0}-2\right)=-\frac{1}{k}\left(x-x_{0}\right)$ ，
令 $x=0$ ，得 $y_{H}=\left(k+\frac{1}{k}\right) x_{0}-2 k$ ，
$\because \mathrm{BF} \perp \mathrm{HF}$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}=\left(1-\mathrm{x}_{1},-\mathrm{y}_{1}\right) \cdot\left(1,-\mathrm{y}_{\mathrm{H}}\right)=0$ ，
即 $1-x_{1}+y_{1} y_{H}=1-\frac{8 k^{2}-6}{3+4 k^{2}}-\frac{12 k}{3+4 k^{2}}\left[\left(k+\frac{1}{k}\right) x_{0}-2 k\right]=0$ ，
整理得：$x_{0}=\frac{9+20 k^{2}}{12\left(k^{2}+1\right)}=1$ ，即 $8 k^{2}=3$ ．
$\therefore \mathrm{k}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$ 或 $\mathrm{k}=\frac{\sqrt{6}}{4}$ ．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了＂整体运算＂思想方法和＂设而不求＂的解题思想方法，考查运算能力，是难题。