2013 高考数学第 20 题答案解析

20．（14分）（ 2013 •广东）已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 $\mathrm{F}(0, \mathrm{c}) ~(\mathrm{c}>0) ~$ 到直线 $1: \mathrm{x}-\mathrm{y}-2=0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，设 P 为直线 $l$ 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ ，其中 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为切点．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）当点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 AB 的方程；
（3）当点 P 在直线 $l$ 上移动时，求 $|\mathrm{AF}| \cdot|\mathrm{BF}|$ 的最小值．