（14分）（2013 •广东）已知抛物线 C 的顶点为原点…——2013 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（14分）（ 2013 •广东）已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 $\mathrm{F}(0, \mathrm{c}) ~(\mathrm{c}>0) ~$ 到直线 $\mathrm{l}: \mathrm{x}-\mathrm{y}-2=0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，设 P 为直线 l 的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ ，其中 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为切点．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）当点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 AB 的方程；
（3）当点 P 在直线 $l$ 上移动时，求 $|\mathrm{AF}| \cdot|\mathrm{BF}|$ 的最小值．
考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程。
分析：（1）利用焦点到直线 $\mathrm{I}: ~ \mathrm{x}-\mathrm{y}-2=0$ 的距离建立关于变量 c 的方程，即可解得 c ，从而得出抛物线 C 的方程；
（2）先设 $A\left(x_{1}, \frac{1}{4} x_{1}^{2}\right), B\left(x_{2}, \frac{1}{4} x_{2}^{2}\right)$ ，由①得到抛物线 $C$ 的方程求导数，得到切线 $P \mathrm{A}, \mathrm{PB}$ 的斜率，最后利用直线 AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线 AB 的方程；
（3）根据抛物线的定义，有 $|\mathrm{AF}|=\frac{1}{4} \mathrm{x}_{1}^{2}+1,|\mathrm{BF}|=\frac{1}{4} \mathrm{x}_{2}^{2}+1$ ，从而表示出 $|\mathrm{AF}| \cdot|\mathrm{BF}|$ ，再由②得 x $1^{+} x_{2}=2 x_{0}, x_{1} x_{2}=4 y_{0}, x_{0}=y_{0}+2$ ，将它表示成关于 $y_{0}$ 的二次函数的形式，从而即可求出 $|A F| \bullet|B F|$ 的最小值。
解答：解：（1）焦点 $F(0, c)(c>0)$ 到直线 $1: x-y-2=0$ 的距离 $d=\frac{|-c-2|}{\sqrt{2}}=\frac{c+2}{\sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，解得 $c=1$所以抛物线 C 的方程为 $\mathrm{x}^{2}=4 \mathrm{y}$

②设 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \frac{1}{4} \mathrm{x}_{1}^{2}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \frac{1}{4} \mathrm{x}_{2}^{2}\right)$
由①得抛物线C的方程为 $y=\frac{1}{4} x^{2}, y^{\prime}=\frac{1}{2} x$ ，所以切线 $P A, P B$ 的斜率分别为 $\frac{1}{2} x_{1}, \frac{1}{2} x_{2}$
所以 $P A: ~ y-\frac{1}{4} x_{1}^{2}=\frac{1}{2} x_{1}\left(x-x_{1}\right)$①PB：$y-\frac{1}{4} x_{2}^{2}=\frac{1}{2} x_{2}\left(x-x_{2}\right)$（2）
联立①②可得点 P 的坐标为 $\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}}{4}\right)$ ，即 $\mathrm{x}_{0}=\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \mathrm{y}_{0}=\frac{\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}}{4}$
又因为切线 $P A$ 的斜率为 $\frac{1}{2} x_{1}=\frac{y_{0}-\frac{1}{4} x_{1}^{2}}{x_{0}-x_{1}}$ ，整理得 $y_{0}=\frac{1}{2} x_{1} x_{0}-\frac{1}{4} x_{1}^{2}$
直线 AB 的斜率 $\mathrm{k}=\frac{\frac{1}{4} \mathrm{x}_{1}^{2}-\frac{1}{4} \mathrm{x}_{2}^{2}}{\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}}=\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{4}=\frac{\mathrm{x}_{0}}{2}$
所以直线 $A B$ 的方程为 $y-\frac{1}{4} x_{1}^{2}=\frac{1}{2} x_{0}\left(x-x_{1}\right)$
整理得 $y=\frac{1}{2} x_{0} x-\frac{1}{2} x_{1} x_{0}+\frac{1}{4} x_{1}^{2}$ ，即 $y=\frac{1}{2} x_{0} x-y_{0}$
因为点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为直线 $1: x-y-2=0$ 上的点，所以 $x_{0}-y_{0}-2=0$ ，即 $y_{0}=x_{0}-2$
所以直线 $A B$ 的方程为 $y=\frac{1}{2} x_{0} x-x_{0}+2$
（3）根据抛物线的定义，有 $|\mathrm{AF}|=\frac{1}{4} \mathrm{x}_{1}^{2}+1,|\mathrm{BF}|=\frac{1}{4} \mathrm{x}_{2}^{2}+1$
所以 $|\mathrm{AF}| \cdot|\mathrm{BF}|=\left(\frac{1}{4} \mathrm{x}_{1}^{2}+1\right) \quad\left(\frac{1}{4} \mathrm{x}_{2}^{2}+1\right)=\frac{1}{16} \mathrm{x}_{1}^{2} \mathrm{x}_{2}^{2}+\frac{1}{4}\left(\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}\right)+1=$
$\frac{1}{16} x_{1}^{2} x_{2}^{2}+\frac{1}{4}\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}\right]+1$
由②得 $x_{1}+x_{2}=2 x_{0}, x_{1} x_{2}=4 y_{0}, x_{0}=y_{0}+2$
所以 $|A F| \cdot|B F|=y_{0}^{2}+\frac{1}{4}\left(4 x_{0}^{2}-8 y_{0}\right)+1=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-2 y_{0}+1=\left(y_{0}+2\right)^{2}+y_{0}^{2}-2 y_{0}+1= 2 y_{0}^{2}+2 y_{0}+5=2\left(y_{0}+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{9}{2}$
所以当 $\mathrm{y}_{0}=-\frac{1}{2}$ 时，$|\mathrm{AF}| \cdot|\mathrm{BF}|$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$
点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力 ，有一定的综合性。