（10分）记等差数列 a_ n 的前 n 项和为 S_ n…——2010 高考数学第 17 题答案解析

【考点】83：等差数列的性质； 85 ：等差数列的前 n 项和．
【专题】34：方程思想．
【分析】由 $2 a_{1}, a_{2}, a_{3}+1$ 成等比数列，可得 $a_{2}{ }^{2}=2 a_{1}\left(a_{3}+1\right)$ ，结合 $s_{3}=12$ ，可列出关于 $a_{1}, d$ 的方程组，求出 $a_{1}, d$ ，进而求出前 $n$ 项和 $s_{n}$ ．

【解答】解：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，由题意得
$\left\{\begin{array}{l}a_{2}^{2}=2 a_{1}\left(a_{3}+1\right) \\ 3 a_{1}+\frac{3 \times 2}{2} d=12\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\ d=3\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=8 \\ d=-4\end{array}\right.$ ，
$\therefore s_{n}=\frac{1}{2} n(3 n-1)$ 或 $s_{n}=2 n(5-n)$ ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．