在 A B C 中内角 A, B, C 所对边分别为 a,…——2024 高考数学第 11 题答案解析

【答案】C
【解析】
【 分析】利用正弦定理得 $\sin A \sin C=\frac{1}{3}$ ，再利用余弦定理有 $a^{2}+c^{2}=\frac{13}{4} a c$ ，再利用正弦定理得到 $\sin ^{2} A+\sin ^{2} C$ 的值，最后代入计算即可．

【详解】因为 $B=\frac{\pi}{3}, b^{2}=\frac{9}{4} a c$ ，则由正弦定理得 $\sin A \sin C=\frac{4}{9} \sin ^{2} B=\frac{1}{3}$ ．

由余弦定理可得：$b^{2}=a^{2}+c^{2}-a c=\frac{9}{4} a c$ ，
即：$a^{2}+c^{2}=\frac{13}{4} a c$ ，根据正弦定理得 $\sin ^{2} A+\sin ^{2} C=\frac{13}{4} \sin A \sin C=\frac{13}{12}$ ，
所以 $(\sin A+\sin C)^{2}=\sin ^{2} A+\sin ^{2} C+2 \sin A \sin C=\frac{7}{4}$ ，
因为 $A, C$ 为三角形内角，则 $\sin A+\sin C>0$ ，则 $\sin A+\sin C=\frac{\sqrt{7}}{2}$ ．
故选：C．