（本小题满分 13 分，（1）小问 5 分，（2）小问 8…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）$\frac{1}{4}$；②分布列见解析，期望为 $\frac{3}{5}$．
【解析】

试题分析：（1）本题属于古典概型，从 10 个棕子中任取 3 个，基本事件的总数为 $C_{10}^{3}$，其中事件＂二种棕子各取 1 个＂含基本事件的个数为 $C_{2}^{1} C_{3}^{1} C_{5}^{1}$，根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；②由于 10个棕子中有 2 个豆沙棕，因此 $X$ 的可能值分别为 $0,1,2$，同样根据古典概型概率公式可得相应的概率，从而列出其分布列，并根据期望公式求得期望为 $\frac{3}{5}$．
试题解析：（1）令 $A$ 表示事件＂三个粽子各取到 1 个＂，则由古典概型的概率计算公式有 $P(\mathrm{~A})=\frac{C_{2}^{1} C_{3}^{1} C_{5}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{4}$；
②$X$ 的所有可能取值为 $0,1,2$，且
$P(\mathrm{X}=0)=\frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{7}{15}, P(\mathrm{X}=1)=\frac{C_{2}^{1} C_{8}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{7}{15}, P(\mathrm{X}=2)=\frac{C_{2}^{2} C_{8}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{15}$,
综上知，$X$ 的分布列为

故 $\mathrm{E}(\mathrm{X})=0^{\prime} \frac{7}{15}+1^{\prime} \frac{7}{15}+2^{\prime} \frac{1}{15}=\frac{3}{5}$．
【考点定位】古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力．
【名师点晴】在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数 $n$，其次所求概率事件中含有多少个基本事件 $m$，然后根据公式 $P=\frac{m}{n}$ 求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算。注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解。