2019_新课标 II 卷 (2019·理)
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是＂半正多面体＂（图1）。半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数学的对称美。图2是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1 －则该半正多面体共有 $\_\_\_\_$个面，其棱长为 $\_\_\_\_$。
图 1
图2
## 【解析】
## 【分析】
第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决。
【详解】由图可知第一层与第三层各有 9 个面，计 18 个面，第二层共有 8 个面，所以该半正多面体共有 $18+8=26$ 个面．
如图，设该半正多面体的棱长为 $x$ ，则 $A B=B E=x$ ，延长 $B C$ 与 $F E$ 交于点 $G$ ，延长 $B C$ 交正方体棱于 $H$ ，由半正多面体对称性可知，$\triangle B G E$ 为等腰直角三角形，
$\therefore B G=G E=C H=\frac{\sqrt{2}}{2} x, \quad \therefore \quad G H=2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} x+x=(\sqrt{2}+1) x=1$ ，
$\therefore x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$ ，即该半正多面体棱长为 $\frac{\sqrt{x}}{x-1}$ ．
【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 $17 \sim 21$ 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 $22 , 23$ 为选考题，考生根据要求作答．
## （一）必考题：共 60 分。