2018_天津卷 (2018·文)
（18）（本小题满分 13 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right) ;\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，公比大于 0，其前 $n$ 项和为 $T_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$．已
知 $b_{1}=1, b_{3}=b_{2}+2, b_{4}=a_{3}+a_{5}, b_{5}=a_{4}+2 a_{6}$．
（I）求 $S_{n}$ 和 $T_{n}$；
（II）若 $S_{n}+\left(T_{1}+T_{2}+\ldots+T_{n}\right)=a_{n}+4 b_{n}$，求正整数 $n$ 的值．
【解答】
本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识。考查数列求和的基本方法和运算求解能力．满分 13 分．
（I）解：设等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$，由 $b_{1}=1, b_{3}=b_{2}+2$，可得 $q^{2}-q-2=0$．
因为 $q>0$，可得 $q=2$，故 $b_{n}=2^{n-1}$．所以 $T_{n}=\frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1$．
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$。由 $b_{4}=a_{3}+a_{5}$，可得 $a_{1}+3 d=4$。由 $b_{5}=a_{4}+2 a_{6}$，可得 $3 a_{1}+13 d=16$，
从而 $a_{1}=1, d=1$，故 $a_{n}=n$，所以 $S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$．
（II）解：由（I），知 $T_{1}+T_{2}+\cdots+T_{n}=\left(2^{1}+2^{3}+\cdots+2^{n}\right)-n=2^{n+1}-n-2$．
由 $S_{n}+\left(T_{1}+T_{2}+\cdots+T_{n}\right)=a_{n}+4 b_{n}$ 可得 $\frac{n(n+1)}{2}+2^{n+1}-n-2=n+2^{n+1}$，
整理得 $n^{2}-3 n-4=0$，解得 $n=-1$（舍），或 $n=4$。所以 $n$ 的值为 4。