2013_退役省自主命题 (2013·理)
（21）（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
如题（21）图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A , A^{\prime}$ 两点，$\left|A A^{\prime}\right|=4$ 。（I）求该椭圆的标准方程；
（II）取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 $P , P^{\prime}$ ，过 $P , P^{\prime}$作圆心为 $Q$ 的圆，使陏圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $P Q \perp P^{\prime} Q$ ，求圆 $Q$
题（21）图
解析：（I）由题意知点 $A(-c, 2)$ 在椭圆上，则 $\frac{(-c)^{2}}{a^{2}}+\frac{2^{2}}{b^{2}}=1$ 从而 $e^{2}+\frac{4}{b^{2}}=1$ ，由 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $b^{2}=\frac{4}{1-e^{2}}=8$ ，从而 $a^{2}=\frac{b^{2}}{1-e^{2}}=16$ ，故该椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$
（II）由椭圆的对称性，可设 $Q(x, 0)$ ，又设 $M(x, y)$ 是柏圆任意一点，
则 $|M Q|^{2}=\left(x-x_{0}\right)^{2}+y^{2}=x^{2}-2 x x_{0}+x_{0}{ }^{2}+y^{2}=x^{2}-2 x x_{0}+x_{0}{ }^{2}+8\left(1-\frac{x^{2}}{16}\right) =\frac{1}{2}\left(x-2 x_{0}\right)^{2}-x_{0}{ }^{2}+8(x \in[-4,4])$
设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，由题意，$P$ 是椭圆上到 $Q$ 的距面最小的点，因此，上式当 $x=x_{1}$ 时取得㖩小值，又因 $x_{1} \in(-4,4)$ ，所以上式当 $x=2 x_{0}$ 时取得最小值，从而 $x_{1}=2 x_{0}$ 且 $|Q P|^{2}=8-x_{0}{ }^{2}$因为 $P Q \perp P^{\prime} Q$ 且 $P^{\prime}\left(x_{1},-y_{1}\right)$ 所以 $\overrightarrow{P Q} \cdot \overrightarrow{P^{\prime} Q}=\left(x_{1}-x_{0}, y_{1}\right) \cdot\left(x_{1}-x_{0},-y_{1}\right)=0$
即 $\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}-y_{1}^{2}=0$ 由椭圆方程及 $x_{1}=2 x_{0}$ 得 $\frac{1}{4} x_{1}^{2}-8\left(1-\frac{x_{1}^{2}}{16}\right)=0$
解得 $x_{1}= \pm \frac{4 \sqrt{6}}{3}, x_{0}=\frac{x_{1}}{2}= \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ 从而 $|Q P|^{2}=8-x_{0}{ }^{2}=\frac{16}{3}$
故这样的圆有两个，其标准方程分别为 $\left(x+\frac{2 \sqrt{6}}{3}\right)^{2}+y^{2}=\frac{16}{3},\left(x-\frac{2 \sqrt{6}}{3}\right)^{2}+y^{2}=\frac{16}{3}$