（21）（满分 14 分） 以知椭圆 x^ 2 a^ 2…——2009 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分 14分
（I）解：由 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~A} / / \mathrm{F}_{2} \mathrm{~B}$ 且 $\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~A}\right|=2\left|\mathrm{~F}_{2} \mathrm{~B}\right|$ ，得 $\left|\frac{\mathrm{EF}_{2}}{\mathrm{EF}_{1}}\right|=\left|\frac{\mathrm{F}_{2} \mathrm{~B}}{\mathrm{~F}_{1} \mathrm{~A}}\right|=\frac{1}{2}$ ，从而 $\frac{\frac{\mathrm{a}^{2}}{c}-c}{\frac{\mathrm{a}^{2}}{c}+c}=\frac{1}{2}$
整理，得 $a^{2}=3 c^{2}$ ，故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
解：由（I）得 $b^{2}=a^{2}-c^{2}=2 c^{2}$ ，所以椭圆的方程可写为 $2 x^{2}+3 y^{2}=6 c^{2}$
设直线 AB 的方程为 $y=k\left(x-\frac{a^{2}}{c}\right)$ ，即 $y=k(x-3 c)$ ．
由已知设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则它们的坐标满足方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-3 c) \\ 2 x^{2}+3 y^{2}=6 c^{2}\end{array}\right.$
消去 y 整理，得 $\left(2+3 k^{2}\right) x^{2}-18 k^{2} c x+27 k^{2} c^{2}-6 c^{2}=0$ ．
依题意，$\Delta=48 c^{2}\left(1-3 k^{2}\right)>0$ ，得 $-\frac{\sqrt{3}}{3}而 $x_{1}+x_{2}=\frac{18 k^{2} c}{2+3 k^{2}}$

$$ x_{1} x_{2}=\frac{27 k^{2} c^{2}-6 c^{c}}{2+3 k^{2}} $$

由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以

$$ x_{1}+3 c=2 x_{2} $$

联立（1）③解得 $x_{1}=\frac{9 k^{2} c-2 c}{2+3 k^{2}}, x_{2}=\frac{9 k^{2} c+2 c}{2+3 k^{2}}$
将 $x_{1}, x_{2}$ 代入（2）中，解得 $k= \pm \frac{\sqrt{2}}{3}$ ．
（III）解法一：由（II）可知 $x_{1}=0, x_{2}=\frac{3 c}{2}$

当 $k=-\frac{\sqrt{2}}{3}$ 时，得 $A(0, \sqrt{2} c)$ ，由已知得 $C(0,-\sqrt{2} c)$ ．
线段 $A F_{1}$ 的垂直平分线 1 的方程为 $y-\frac{\sqrt{2}}{2} c=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+\frac{c}{2}\right)$ 直线 $l$ 与 x 轴的交点 $\left(\frac{c}{2}, 0\right)$ 是 $\triangle A F_{1} C$ 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 $\left(\mathrm{x}-\frac{c}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{c}{2}+c\right)^{2}$ ．

直线 $F_{2} B$ 的方程为 $y=\sqrt{2}(x-c)$ ，于是点 $\mathrm{H}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$ 的坐标满足方程组
$\left\{\begin{array}{l}\left(m-\frac{c}{2}\right)^{2}+n^{2}=\frac{9 c^{2}}{4} \\ n=\sqrt{2}(m-c)\end{array}\right.$ ，由 $m \neq 0$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{5}{3} c \\ n=\frac{2 \sqrt{2}}{3} c\end{array}\right.$ 故 $\frac{n}{m}=\frac{2 \sqrt{2}}{5}$
当 $k=\frac{\sqrt{2}}{3}$ 时，同理可得 $\frac{n}{m}=-\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ ．

解法二：由（II）可知 $x_{1}=0, x_{2}=\frac{3 c}{2}$

当 $k=-\frac{\sqrt{2}}{3}$ 时，得 $A(0, \sqrt{2} c)$ ，由已知得 $C(0,-\sqrt{2} c)$
由椭圆的对称性可知 $\mathrm{B}, F_{2}, \mathrm{C}$ 三点共线，因为点 $\mathrm{H}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$ 在 $\Delta A F_{1} C$ 的外接圆上，且 $F_{1} A / / F_{2} B$ ，所以四边形 $A F_{1} C H$ 为等腰梯形．

由直线 $F_{2} B$ 的方程为 $y=\sqrt{2}(x-c)$ ，知点 H 的坐标为 $(m, \sqrt{2} m-\sqrt{2} c)$ ．
因为 $|A H|=\left|C F_{1}\right|$ ，所以 $m^{2}+(\sqrt{2} m-\sqrt{2} c-\sqrt{2} c)^{2}=a^{2}$ ，解得 $\mathrm{m}=\mathrm{c}$（舍），或 $m=\frac{5}{3} c$ ．
则 $n=\frac{2 \sqrt{2}}{3} c$ ，所以 $\frac{n}{m}=\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ ．
当 $k=\frac{\sqrt{2}}{3}$ 时同理可得 $\frac{\mathrm{n}}{m}=-\frac{2 \sqrt{2}}{5}$