20．（本小题满分 16 分）
已知各项均为正数的两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{\sqrt{a_{n}{ }^{2}+b_{n}{ }^{2}}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．
①设 $b_{n+1}=1+\frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，求证：数列 $\left\{\left(\frac{b_{n}}{a_{n}}\right)^{2}\right\}$ 是等差数列；
（2）设 $b_{n+1}=\sqrt{2} \cdot \frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，求 $a_{1}$ 和 $b_{1}$ 的值．
## 绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
## 数学 II（附加题）
## 注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题～第 23 题）。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
## 21．［选做题］本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．
## 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
##
A. ［选修4－1：几何证明选讲］（本小题满分 10 分）
如图，$A B$ 是圆 $O$ 的直径，$D, E$ 为圆上位于 $A B$ 异侧的两点，连结 $B D$ 并延长至点 $C$ ，使 $B D =D C$ ，连结 $A C, A E, D E$ ．
求证：$\angle E=\angle C$ ．
（第21－A题）
B. ［选修4－2：矩阵与变换］（本小题满分 10 分）
已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．
C. ［选修4－4：坐标系与参数方程］（本小题满分 10 分）
在极坐标中，已知圆 $C$ 经过点 $P\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ ，圆心为直线 $\rho \sin \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程．
D. ［选修4－5：不等式选讲］（本小题满分 10 分）
已知实数 $x, y$ 满足：$|x+y|<\frac{1}{3},|2 x-y|<\frac{1}{6}$ ，求证：$|y|<\frac{5}{18}$ ．