（本小题满分 12 分） 在等差数列 a_ n 中， a_…——2013 高考数学第 16 题答案解析

【答案】首项为 4，公差为 0，或首项为 1，公差为 $3 ; S_{n}=4 n$ 或 $S_{n}=\frac{3 n^{2}-n}{2}$．

【解析】设该数列公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_{n}$，由已知，可得，

$$ \left\{\begin{array}{l} 2 a_{1}+2 d=8 \\ \left(a_{1}+3 d\right)^{2}=\left(a_{1}+d\right)\left(a_{1}+8 a\right) \end{array}\right. $$

所以 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}+d=4 \\ d\left(d-3 a_{1}\right)=0\end{array}\right.$，
解得 $a_{1}=4, d=0$ 或 $a_{1}=1, d=3$，
即数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 4，公差为 0，或数列的首项为 1，公差为 3．
所以，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=4 n$ 或 $S_{n}=\frac{3 n^{2}-n}{2}, \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot 12$ 分
【考点定位】本小题考查等差数列、等比中项等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合、化归转化等数学思想。将等差错看为等比，将等比中项错看为等差中项，误将公差 $d=0$ 舍去。