双曲线 C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2…——2019 高考数学第 10 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】
由双曲线渐近线定义可得 $-\frac{b}{a}=\tan 130^{\circ}, \therefore \frac{b}{a}=\tan 50^{\circ}$ ，再利用 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}$ 求双
曲线的离心率．
【详解】由已知可得 $-\frac{b}{a}=\tan 130^{\circ}, \therefore \frac{b}{a}=\tan 50^{\circ}$ ，
$\therefore e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}=\sqrt{1+\tan ^{2} 50^{\circ}}=\sqrt{1+\frac{\sin ^{2} 50^{\circ}}{\cos ^{2} 50^{\circ}}}=\sqrt{\frac{\sin ^{2} 50^{\circ}+\cos ^{2} 50^{\circ}}{\cos ^{2} 50^{\circ}}}=\frac{1}{\cos 50^{\circ}}$
，故选D．
【点睛】对于双曲线：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，有 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}$ ；对于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，有 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}$ ，防止记混。