（21）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 x^ 2 a^…——2009 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。

解：（I）由条件有 $\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{a^{2}}{c}=2\end{array}\right.$ 解得 $\mathrm{a}=\sqrt{2}, \mathrm{c}=1$ ．．
$\therefore b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=1$
所以，所求椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$
（II）由（I）知 $F_{1}(-1,0) , F_{2}(1,0)$
若直线 L 的斜率不存在，则直线 L 的方程为 $\mathrm{x}=-1$ ，
将 $\mathrm{x}=-1$ 代入椭圆方程的 $y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
不妨设 M $\left(-1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) , N\left(-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$\therefore \overrightarrow{F_{2} M}+\overrightarrow{F_{2} N}=\left(-2, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\left(-2,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=(-4,0)$
$\therefore\left|\overrightarrow{F_{2} M}+\overrightarrow{F_{2} N}\right|=4$ ，与题设矛盾。
∴ 直线 $l$ 的斜率存在
设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，则直线 $l$ 的方程为 $y=k(x+1)$
设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right) , N\left(x_{2}, y_{2}\right)$
联立 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1 \\ y=k(x+1)\end{array}\right.$ ，消 $y$ 得 $\left(1+2 k^{2}\right) x^{2}+4 k^{2} x+2 k^{2}-2=0$

由根与系数的关系知 $x_{1}+x_{2}=\frac{-4 k^{2}}{1+2 k^{2}}$ ，从而 $y_{1}+y_{2}=k\left(x_{1}+x_{2}+2\right)=\frac{2 k}{1+2 k^{2}}$
又 $\because \overrightarrow{F_{2} M}=\left(x_{1}-1, y_{1}\right), \overrightarrow{F_{2} N}=\left(x_{2}-1, y_{2}\right)$ ，
$\therefore \overrightarrow{F_{2} M}+\overrightarrow{F_{2} N}=\left(x_{1}+x_{2}-2, y_{1}+y_{2}\right)$
$\therefore\left|\overrightarrow{F_{2} M}+\overrightarrow{F_{2} N}\right|^{2}=\left(x_{1}+x_{2}-2\right)^{2}+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\left(\frac{8 k^{2}+2}{1+2 k^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{2 k}{1+2 k^{2}}\right)^{2} \\ & =\frac{4\left(16 k^{2}+9 k^{2}+1\right)}{4 k^{4}+4 k^{2}+1} \end{aligned} $$

$\therefore \frac{4\left(16 k^{4}+9 k^{2}+1\right)}{4 k^{4}+4 k^{2}+1}=\left(\frac{2 \sqrt{26}}{3}\right)^{2}$ ．
化简得 $40 k^{4}-23 k^{2}-17=0$
解得 $k^{2}=1$ 或 $k^{2}=-\frac{17}{40}$（舍）
$\therefore k= \pm 1$
∴ 所求直线 $l$ 的方程为 $y=x+1$ 或 $y=-x-1$