2018_江苏卷 (2018)
18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 过点 $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ，焦点 $F_{1}(-\sqrt{3}, 0), F_{2}(\sqrt{3}, 0)$ ，圆 $O$ 的直径为 $F_{1} F_{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 及圆 $O$ 的方程；
②设直线 $/$ 与圆 $O$ 相切于第一象限内的点 $P$ ．
（1）若直线 $/$ 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 $P$ 的坐标；
（2）直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\triangle O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，
（第 18 题）
求直线 $/$ 的方程．
【解答】
本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分 16 分．
解：（1）因为椭圆 $C$ 的焦点为 $F_{1}(-\sqrt{3}, 0), F_{2}(\sqrt{3}, 0)$ ，可设椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ．又点 $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上，所以 $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{a^{2}}+\frac{1}{4 b^{2}}=1, \\ a^{2}-b^{2}=3,\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}=4, \\ b^{2}=1,\end{array}\right.$
因此，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ．
因为圆 $O$ 的直径为 $F_{1} F_{2}$ ，所以其方程为 $x^{2}+y^{2}=3$ ．
（2）①设直线 $/$ 与圆 $O$ 相切于 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0}>0, y_{0}>0\right)$ ，则 $x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}=3$ ，
所以直线 $/$ 的方程为 $y=-\frac{x_{0}}{y_{0}}\left(x-x_{0}\right)+y_{0}$ ，即 $y=-\frac{x_{0}}{y_{0}} x+\frac{3}{y_{0}}$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1, \\ y=-\frac{x_{0}}{y_{0}} x+\frac{3}{y_{0}},\end{array}\right.$ ，消去 $y$ ，得
$$ \left(4 x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right) x^{2}-24 x_{0} x+36-4 y_{0}^{2}=0 $$
因为直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，
所以 $\Delta=\left(-24 x_{0}\right)^{2}-4\left(4 x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right)\left(36-4 y_{0}^{2}\right)=48 y_{0}^{2}\left(x_{0}^{2}-2\right)=0$ ．
因为 $x_{0}, y_{0}>0$ ，所以 $x_{0}=\sqrt{2}, y_{0}=1$ ．
因此，点 $P$ 的坐标为 $(\sqrt{2}, 1)$ ．
（2）因为三角形 $O A B$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，所以 $\frac{1}{2} A B \cdot O P=\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，从而 $A B=\frac{4 \sqrt{2}}{7}$ ．
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
由（＊）得 $x_{1,2}=\frac{24 x_{0} \pm \sqrt{48 y_{0}{ }^{2}\left(x_{0}{ }^{2}-2\right)}}{2\left(4 x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}\right)}$ ，
所以 $A B^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}$
$=\left(1+\frac{x_{0}{ }^{2}}{y_{0}{ }^{2}}\right) \cdot \frac{48 y_{0}{ }^{2}\left(x_{0}{ }^{2}-2\right)}{\left(4 x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}\right)^{2}}$ ．
因为 $x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}=3$ ，
所以 $A B^{2}=\frac{16\left(x_{0}{ }^{2}-2\right)}{\left(x_{0}{ }^{2}+1\right)^{2}}=\frac{32}{49}$ ，即 $2 x_{0}{ }^{4}-45 x_{0}{ }^{2}+100=0$ ，
解得 $x_{0}{ }^{2}=\frac{5}{2}\left(x_{0}{ }^{2}=20\right.$ 舍去），则 $y_{0}{ }^{2}=\frac{1}{2}$ ，因此 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ．
综上，直线 $/$ 的方程为 $y=-\sqrt{5} x+3 \sqrt{2}$ ．