16．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-a^{3}$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 0 ，求 $a$ 的取值范围．
参考答案(1) $(\mathrm{e}-1) x-y-1=0$; (2) $(1,+\infty)$
讨论遗漏参数边界高考易错题
讨论遗漏参数边界高考易错题专题，共 16 道真题，覆盖 10 个年份、16 套试卷，适合老师备课、讲评和归纳训练。
16道真题
10个年份
16套试卷
相关真题
12．设 $a \neq 0$ ，若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，则
参考答案D
22．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$ ．
（1）当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点（1，$f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 $f(x) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围．
参考答案(1) $\frac{2}{e-1}$; (2) $[1,+\infty)$
（20）（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\left(x-t_{3}\right)$ ，其中 $t_{1}, t_{2}, t_{3} \in \mathbf{R}$ ，且 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ 是公差为 $d$ 的等差数列．
（I）若 $t_{2}=0, d=1$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（II）若 $d=3$ ，求 $f(x)$ 的极值；
（III）若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=-\left(x_{1}-t_{2}\right)-6 \sqrt{3}$ 有三个互异的公共点，求 $d$ 的取值范围．
20．（13分）已知函数 $f(x)=x^{2}+2 \cos x, g(x)=e^{x}(\cos x-\sin x+2 x-2)$ ，其中 $\mathrm{e} \approx 2.17828 \ldots$ 是自然对数的底数．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点（ $\pi, f(\pi)$ ）处的切线方程；
（II）令 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{g}$
（x）－a
$f(x)(a \in R)$ ，讨论 $h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
21．（12分）已知函数 $f(x)=a e^{2 x}+(a-2) e^{x}-x$ 。
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．
21．（12分）已知函数 $f(x)=e^{x}\left(e^{x}-a\right)-a^{2} x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围．
19．（16分）（2015•江苏）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{b} ~(\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b} \in \mathrm{R}) ~$.
（1）试讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $\mathrm{b}=\mathrm{c}-\mathrm{a}$（实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是 $(-\infty,-3) \cup\left(1, \frac{3}{2}\right) \cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$ ，求 c 的值。
9．如果函数 $f(x)=\frac{1}{2}(m-2) x^{2}+(n-8) x+1(m \geq 0, n \geq 0)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上单调递减，则 $m n$ 的最大值为
参考答案B
21．（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=\ln x+\frac{m}{x}, m \in R$．
①当 $m=e$（ $e$ 为自然对数的底数）时，求 $f(x)$ 的极小值；
（2）讨论函数 $g(x)=f^{\prime}(x)-\frac{x}{3}$ 零点的个数；
（3）若对任意 $b>a>0, \frac{f(b)-f(a)}{b-a}<1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．
参考答案(1) 2; (2) 当 $m>\frac{2}{3}$ 时，函数 $g(x)$ 无零点；当 $m=\frac{2}{3}$ 或 $m \leq 0$ 时，函数 $g(x)$ 有且仅有一个零点；当 $0<m<\frac{2}{3}$ 时，函数 $g(x)$ 有两个零点; (3) $\left[\frac{1}{4},+\infty\right)$．
21．（12分）设函数 $f(x)=a \ln x+\frac{1-a}{2} x^{2}-b x(a \neq 1)$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点（ $1, f$
（1））处的切线斜率为 0 ，
（1）求 b ；
（2）若存在 $x_{0} \geq 1$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)<\frac{a}{a-1}$ ，求 $a$ 的取值范围．
21．（12分）已知函数 $f(x)=e^{x}-e^{-x}-2 x$ ．
（I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性；
（II）设 $g(x)=f(2 x)-4 b f(x)$ ，当 $x>0$ 时，$g(x)>0$ ，求 $b$ 的最大值；
（III）已知 $1.4142<\sqrt{2}<1.4143$ ，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到 0.001 ）．
21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+(3-6 a) x+12 a-4(a \in R)$
（I）证明：曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=0$ 处的切线过点 $(2,2)$ ；
（II）若 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得极小值，$x_{0} \in(1,3)$ ，求 $a$ 的取值范围。
19．（本小题满分 16 分）
已知 $a, b$ 是实数，函数 $f(x)=x^{3}+a x, g(x)=x^{2}+b x, f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导函数．若 $f^{\prime}(x) g^{\prime}(x) \geq 0$ 在区间 $I$ 上恒成立，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$上单调性一致．
（1）设 $a>0$ ，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[-1,+\infty)$ 上单调性一致，求实数 $b$ 的取值范围；
②设 $a<0$ 且 $a \neq b$ ，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在以 $a, b$ 为端点的开区间上单调性一致，求 $|a-b|$ 的最大值．
21．（本小题满分13分）
已知函数 $f(x)=\frac{a}{x}+x+(a-1) \ln x+15 a$ ，其中 $\mathrm{a}<0$ ，且 $\mathrm{a} \neq-1$ ．
（I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）设函数 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{X})=\left\{\begin{array}{l}\left(-2 x^{3}+3 a x^{3}+6 a x-4 a^{2}-6 a\right) e^{x}, x \leq 1 \\ e \cdot f(x), x>1\end{array} \quad(\mathrm{e}\right.$ 是自然数的底数）。
是否存在 a ，使 $g(x)$ 在 $[\mathrm{a},-$
a］上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
## 2010年湖南省高考数学试卷（文科）
22．（12分）设函数 $f(x)=x^{2}+a \ln (1+x)$ 有两个极值点 $x_{1} , x_{2}$ ，且 $x_{1}