已知双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 =…——2021 高考数学第 8 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】设公共焦点为 $(c, 0)$ ，进而可得准线为 $x=-c$ ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得 $a^{2}=\frac{1}{2} c^{2}$ ，再由双曲线离心率公式即可得解．
【详解】设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的公共焦点为 $(c, 0)$ ，则抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线为 $x=-c$ ，

令 $x=-c$ ，则 $\frac{c^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，解得 $y= \pm \frac{b^{2}}{a}$ ，所以 $|A B|=\frac{2 b^{2}}{a}$ ，
又因为双曲线的渐近线方程为 $y= \pm \frac{b}{a} x$ ，所以 $|C D|=\frac{2 b c}{a}$ ，
所以 $\frac{2 b c}{a}=\frac{2 \sqrt{2} b^{2}}{a}$ ，即 $c=\sqrt{2} b$ ，所以 $a^{2}=c^{2}-b^{2}=\frac{1}{2} c^{2}$ ，
所以双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$ ．
故选：A．