（5）已知双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^…——2010 高考数学第 5 题答案解析

【答案】B

【解答】
（5 分）（2010•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ~(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程是 $\mathrm{y}=\sqrt{3} \mathrm{x}$ ，它的一个焦点在抛物线 $\mathrm{y}^{2}=24 \mathrm{x}$ 的准线上，则双曲线的方程为（）
A．$\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{108}=1$
B．$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{27}=1$
C．$\frac{x^{2}}{108}-\frac{y^{2}}{36}=1$
D．$\frac{x^{2}}{27}-\frac{y^{2}}{9}=1$

【考点】双曲线的标准方程。
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程。
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为 $\mathrm{x}=-6$ ，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在 x 轴上，则双曲线的左焦点为 $(-6,0)$ ，此时由双曲线的性质 $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}$ 可得 $\mathrm{a} , \mathrm{~b}$ 的一个方程；再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 $\mathrm{y}= \pm \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \mathrm{x}$ ，可得 $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\sqrt{3}$ ，则得 $\mathrm{a} , \mathrm{~b}$ 的另一个方程。那么只需解 $\mathrm{a} , \mathrm{~b}$ 的方程组，问题即可解决。
【解答】解：因为抛物线 $\mathrm{y}^{2}=24 \mathrm{x}$ 的准线方程为 $\mathrm{x}=-6$ ，
则由题意知，点 $\mathrm{F}(-6,0)$ 是双曲线的左焦点，
所以 $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}=36$ ，
又双曲线的一条渐近线方程是 $\mathrm{y}=\sqrt{3} \mathrm{x}$ ，
所以 $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\sqrt{3}$ ，

解得 $a^{2}=9, b^{2}=27$ ，
所以双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{27}=1$ ．
故选 B．
【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质．