2021_北京卷 (2021)
19．已知函数 $f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}+a}$ ．
（1）若 $a=0$ ，求 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处切线方程；
（2）若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．
【答案】① $4 x+y-5=0$ ；（2）函数 $f(x)$ 的增区间为 $(-\infty,-1) ,(4,+\infty)$ ，单调递减区间为 $(-1,4)$ ，最大值为 1 ，最小值为 $-\frac{1}{4}$ ．
## 【解析】
【分析】（1）求出 $f(1) , f^{\prime}(1)$ 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
②由 $f^{\prime}(-1)=0$ 可求得实数 $a$ 的值，然后利用导数分析函数 $f(x)$ 的单调性与极值，由此可得出结果．
【详解】①当 $a=0$ 时，$f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}}$ ，则 $f^{\prime}(x)=\frac{2(x-3)}{x^{3}}, \therefore f(1)=1, f^{\prime}(1)=-4$ ，
此时，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y-1=-4(x-1)$ ，即 $4 x+y-5=0$ ；
（2）因为 $f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}+a}$ ，则 $f^{\prime}(x)=\frac{-2\left(x^{2}+a\right)-2 x(3-2 x)}{\left(x^{2}+a\right)^{2}}=\frac{2\left(x^{2}-3 x-a\right)}{\left(x^{2}+a\right)^{2}}$ ，
由题意可得 $f^{\prime}(-1)=\frac{2(4-a)}{(a+1)^{2}}=0$ ，解得 $a=4$ ，
故 $f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}+4}, f^{\prime}(x)=\frac{2(x+1)(x-4)}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$ ，列表如下：
| $x$ | $(-\infty,-1)$ | －1 | （－1，4） | 4 | （4，＋$\infty$ ） |
|---|---|---|---|---|---|
| $f^{\prime}(x)$ | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| $f(x)$ | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
所以，函数 $f(x)$ 的增区间为 $(-\infty,-1) ,(4,+\infty)$ ，单调递减区间为 $(-1,4)$ ．
当 $x<\frac{3}{2}$ 时，$f(x)>0$ ；当 $x>\frac{3}{2}$ 时，$f(x)<0$ ．
所以，$f(x)_{\text {max }}=f(-1)=1, f(x)_{\text {min }}=f(4)=-\frac{1}{4}$ ．