【解答】
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 在椭圆 $E$ 上且在第一象限内，$A F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，直线 $A F_{1}$ 与椭圆 $E$ 相交于另一点 $B$ ．
（1）求 $\triangle A F_{1} F_{2}$ 的周长；
（2）在 $x$ 轴上任取一点 $P$ ，直线 $A P$ 与椭圆 $E$ 的右准线相交于点 $Q$ ，求 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{Q P}$ 的最小值；
（3）设点 $M$ 在椭圆 $E$ 上，记 $\triangle O A B$ 与 $\triangle M A B$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，若 $S_{2}=3 S_{1}$ ，求点 $M$ 的坐标．
【答案】（1） 6 ；（2）-4 ；③$M(2,0)$ 或 $\left(-\frac{2}{7},-\frac{12}{7}\right)$ ．
## 【解析】
【分析】
（1）根据椭圆定义可得 $A F_{1}+A F_{2}=4$ ，从而可求出 $\triangle A F_{1} F_{2}$ 的周长；
②设 $P\left(x_{0}, 0\right)$ ，根据点 $A$ 在椭圆 $E$ 上，且在第一象限，$A F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，求出 $A\left(1, \frac{3}{2}\right)$ ，根据准线方程得 $Q$ 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；
③设出设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，点 $M$ 到直线 $A B$ 的距离为 $d$ ，由点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离与 $S_{2}=3 S_{1}$ ，可推出 $d=\frac{9}{5}$ ，根据点到直线的距离公式，以及 $M\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标．
【详解】（1）∵ 椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
$\therefore F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$
由椭圆定义可得：$A F_{1}+A F_{2}=4$ ．
$\therefore \triangle A F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4+2=6$
②设 $P\left(x_{0}, 0\right)$ ，根据题意可得 $x_{0} \neq 1$ ．
∵ 点 $A$ 在椭圆 $E$ 上，且在第一象限，$A F_{2} \perp F_{1} F_{2}$
$\therefore A\left(1, \frac{3}{2}\right)$
∵ 准线方程为 $x=4$
$\therefore Q\left(4, y_{Q}\right)$
$\therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{Q P}=\left(x_{0}, 0\right) \cdot\left(x_{0}-4,-y_{Q}\right)=\left(x_{0}-4\right) x_{0}=\left(x_{0}-2\right)^{2}-4 \geq-4$ ，当且仅当 $x_{0}=2$ 时取等号．
$\therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{Q P}$ 的最小值为 -4 ．
③设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，点 $M$ 到直线 $A B$ 的距离为 $d$ ．
$\because A\left(1, \frac{3}{2}\right), \quad F_{1}(-1,0)$
∴ 直线 $A F_{1}$ 的方程为 $y=\frac{3}{4}(x+1)$
∵ 点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{3}{5}, S_{2}=3 S_{1}$
$\therefore S_{2}=3 S_{1}=3 \times \frac{1}{2} \times|A B| \times \frac{3}{5}=\frac{1}{2}|A B| \cdot d$
$\therefore d=\frac{9}{5}$
$\therefore\left|3 x_{1}-4 y_{1}+3\right|=9$①
$\because \frac{x_{1}^{2}}{4}+\frac{y_{1}^{2}}{3}=1$（2）
∴ 联立①②解得 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}=2 \\ y_{1}=0\end{array},\left\{\begin{array}{l}x_{1}=-\frac{2}{7} \\ y_{1}=-\frac{12}{7}\end{array}\right.\right.$ ．
$\therefore M(2,0)$ 或 $\left(-\frac{2}{7},-\frac{12}{7}\right)$ ．
【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据 $S_{2}=3 S_{1}$ 推出 $d=\frac{9}{5}$ 是解答本题的关键．
