数列 a_ n 是等差数列，若 a_ 1 +1, a_ 3…——2014 高考数学第 9 题答案解析

## 【答案】1

## 【解析】

试题分析：$\because a_{1}+1, a_{3}+3, a_{5}+5$ 成等比，$\therefore\left(a_{1}+1\right)\left[a_{1}+1+4(d+1)\right]=\left[a_{1}+1+2(d+1)\right]^{2}$，令 $a_{1}+1=x, d+1=y$，则 $x(x+4 y)=(x+2 y)^{2}, ~ x^{2}+4 x y=x^{2}+4 x y+4 y^{2}, \therefore y=0$，即 $d+1=0, \quad \therefore q=1$．

考点：1．等差，等比数列的性质
（13）设 $a \neq 0, n$ 是大于 1 的自然数，$\left(1+\frac{x}{a}\right)^{n}$ 的展开式为 $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}$．若点 $A_{i}\left(i, a_{i}\right)(i=0,1,2)$ 的位置如图所示，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

【答案】3

## 【解析】

试题分析：由图易知 $a_{0}=1, a_{1}=3, a_{2}=4$，则 $a_{1}=C_{n}^{1} \frac{1}{a}=3, a_{2}=C_{n}^{2}\left(\frac{1}{a}\right)^{2}=4$，即 $\left\{\begin{array}{c}\frac{n}{a}=3 \\ \frac{n(n-1)}{2 a^{2}}=4\end{array}\right.$，解得 $a=3$．

考点：1．二项展开式的应用．
（14）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E: x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0【答案】 $x^{2}+\frac{3}{2} y^{2}=1$

## 【解析】

试题分析：如下图，$\because A F_{2} \perp x$ 轴，$\therefore A F_{2}=\frac{b^{2}}{a}=b^{2}$，设 $A\left(c, b^{2}\right)$，又 $\because\left|A F_{1}\right|=3\left|B F_{1}\right|$，则 $B$ 点坐标为 $\left(-\frac{5}{3} c,-\frac{1}{3} b^{2}\right)$ 带入椭圆为 $\left\{\begin{array}{c}\left(-\frac{5}{3} c\right)^{2}+\frac{\left(-\frac{1}{3} b^{2}\right)^{2}}{b^{2}}=1 \text { 解得 } c^{2}=\frac{1}{3}, b^{2}=\frac{2}{3} \text {，所以椭圆的方程为 } \\ b^{2}=1-c^{2}\end{array}\right. x^{2}+\frac{3}{2} y^{2}=1$.

考点：1．椭圆的标准方程；2．椭圆的性质．
（15）已知两个不相等的非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$，两组向量 $\overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{x_{2}}, \overrightarrow{x_{3}}, \overrightarrow{x_{4}}, \overrightarrow{x_{5}}$ 和 $\overrightarrow{y_{1}}, \overrightarrow{y_{2}}, \overrightarrow{y_{3}}, \overrightarrow{y_{4}}, \overrightarrow{y_{5}}$ 均由 2 个 $\vec{a}$ 和 3 个 $\vec{b}$ 排列而成。记 $S=\overrightarrow{x_{1}} \cdot \overrightarrow{y_{1}}+\overrightarrow{x_{2}} \cdot \overrightarrow{y_{2}}+\overrightarrow{x_{3}} \cdot \overrightarrow{y_{3}}+\overrightarrow{x_{4}} \cdot \overrightarrow{y_{4}}+\overrightarrow{x_{5}} \cdot \overrightarrow{y_{5}}, S_{\min }$ 表示 $S$ 所有可能取值中的最小值。则下列命题

的是 $\_\_\_\_$ （写出所有正确命题的编号）。
（1）$S$ 有 5 个不同的值．
（2）若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则 $S_{\min }$ 与 $|\vec{a}|$ 无关。
（3）若 $\vec{a} / / \vec{b}$，则 $S_{\min }$ 与 $|\vec{b}|$ 无关。
（4）若 $|\vec{b}|>4|\vec{a}|$，则 $S_{\min }>0$。
（5）若 $|\vec{b}|=2|\vec{a}|, S_{\text {min }}=8|\vec{a}|^{2}$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$
【答案】（2）④

## 【解析】

试题分析：由题意 $S$ 有三种结果，如下：$S_{1}=\bar{a} \cdot \bar{a}+\bar{a} \cdot \bar{a}+\bar{b} \cdot \bar{b}+\bar{b} \cdot \bar{b}+\bar{b} \cdot \bar{b}$； $S_{2}=\bar{a} \cdot \bar{a}+\bar{a} \cdot \bar{b}+\bar{b} \cdot \bar{a}+\bar{b} \cdot \bar{b}+\bar{b} \cdot \bar{b} ; \quad S_{3}=\bar{a} \cdot \bar{b}+\bar{a} \cdot \bar{b}+\bar{b} \cdot \bar{a}+\bar{b} \cdot \bar{a}+\bar{b} \cdot \bar{b}$．故（1）错误；$\because S_{1}-S_{2}=S_{2}-S_{3}=(\bar{a})^{2}+(\bar{b})^{2}-2 \bar{a} \cdot \bar{b} \geq|\bar{a}|^{2}+|\bar{b}|^{2}-2|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|=(|\bar{a}|-|\bar{b}|)^{2} \geq 0, \therefore S$ 中最小为 $S_{3}$ 若 $\bar{a} \perp \bar{b}$，则 $S_{\text {min }}=S_{3}=(\bar{b})^{2}$ 与 $|\vec{a}|$ 无关，故（2）正确；若 $\bar{a} / / \bar{b}$，则 $S_{\text {min }}=S_{3}=4 \bar{a} \cdot \bar{b}+(\bar{b})^{2}=(\bar{b})^{2}+4|\bar{a}||\bar{b}|$ 或 $S_{\text {㬴 }}=S_{3}=4 \bar{a} \cdot \bar{b}+(\bar{b})^{2}=(\bar{b})^{2}-4|\bar{a}||\bar{b}|$ 与 $|\vec{b}|$ 有关，故（3）错误；若 $|\bar{b}|>4|\bar{a}|$，则 $S_{\text {min }}=S_{3}=4 \bar{a} \cdot \bar{b}+(\bar{b})^{2}=4|\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta+(\bar{b})^{2}>-4|\bar{a}||\bar{b}|+(\bar{b})^{2} >-|\vec{b}|^{2}+|\vec{b}|^{2}=0$，故④正确；若 $|\vec{b}|=2|\vec{a}|$， $S_{\min }=S_{3}=4 \bar{a} \cdot \bar{b}+(\bar{b})^{2}=8|\bar{a}|^{2} \cos \theta+4|\bar{a}|^{2}=8|\bar{a}|^{2}, \therefore 2 \cos \theta=1, \therefore \theta=\frac{\pi}{3}$，故（5）错误．所以正确的编号为（2）④。

考点：1．平面向量的运算；2．平面向量的数量积。
三．