2014_退役省自主命题 (2014·理)
20．（本小题满分 12 分）
计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 $X$（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在 40 以上．其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年。将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 $X$ 限制，并有如下关系：
| 年入流量 $X$ | $40<X<80$ | $80 \leq X \leq 120$ | $X>120$ |
|---|---|---|---|
| 发电量最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
(1) 0.9477; (2) 8620,2 ．
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】（1） 0.9477 ；（2） 8620,2 ．
【解析】
试题分析：（1）先求 $P_{1}=P(40<X<80), P_{2}=P(80 \leq N \leq 120), P_{3}=P(X>120)$ ，再利用二项分布求解；（2）记水电站年总利润为 $Y$（单位：万元）（1）安装 1 台发电机的情形。（2）安装 2 台发电机。（3）安装 3台发电机，分别求出 $E Y$ ，比较大小，再确定应安装发包机台数。
试题解析：（1）依题意，$P_{1}=P(40<X<80)=\frac{10}{50}=0.2$ ，
$P_{2}=P(80 \leq X \leq 120)=\frac{35}{50}=0.7, \quad P_{3}=P(X>120)=\frac{5}{50}=0.1$ ，
由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年人流量找过 120 的概率为：
$P=C_{4}^{0}\left(1-P_{3}\right)^{4}+C_{4}^{1}\left(1-P_{3}\right)^{3} P_{3}=\left(\frac{9}{10}\right)^{4}+4 \times\left(\frac{9}{10}\right)^{3} \times \frac{1}{10}=0.9477$ ．
（2）记水电站年总利润为 $Y$（单位：万元）
（1）安装 1 台发电机的情形。
由于水库年入流量总大于 40，所以一台发电机运行的概率为 1 ，
对应的年利润 $Y=5000, E Y=5000 \times 1=5000$ ．
（2）安装 2 台发电机．
当 $40<X<80$ 时，一台发电机运行，此 $\mathrm{r} Y=5000-800=4200$ ，
因此 $P(y=4200)=P(40<X<80)=P_{1}=02$ ，
当 $X \geq 80$ 时，两台发电机运行，步 $m=5000 \times 2=10000$ ，
因此 $P(Y=10000)=P(X \geq 80)=P_{1}+P_{2}=0.8$ ．由此得 $Y$ 的分布列如下：
| $Y$ | 4200 | 10000 |
|---|---|---|
| $P$ | 0.2 | 0.8 |
所以 $E Y=4200 \times 1+10000 \times 2=8840$ ．
（3）安装 3 台发电机。
依题意，当 $40<X<80$ 时，一台发电机运行，此时 $Y=5000-1600=3400$ ，
因此 $P(Y=3400)=P(40<X<30)=P_{1}=0.2$ ；
当 $80 \leq X \leq 120$ 时，两台发电机运行，此时 $Y=5000 \times 2-800=9200$ ，
此时 $P(Y=9200)=P(80 \leq X \leq 120)=P_{2}=0.7$ ，
当 $X>120$ 时，三台发电机运行，此时 $y=5000 \times 3=15000$ ，
因此 $P(Y=15000)=P(X>120)=P_{3}=0.1$ ，
由此得 $Y$ 的分布列如下：
| $Y$ | 34 | 9200 | 15000 |
|---|
| $P$ | 0.2 | 0.8 | 0.1 |
|---|
所以 $E Y=3400 \times 0.2+9200 \times 0.7+15000 \times 0.1=8620$ ．
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台。
考点：二项分布，随机变量的均值．