如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y…——2015 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（ I ）$(x-1)^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=2$ ；（ II ）$-1-\sqrt{2}$ ．

【解析】设点 $C$ 的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则由圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$ 知，点 $C$ 的横坐标为 1 ，即 $x_{0}=1$ ，半径 $r=y_{0}$ ．又因为 $|A B|=2$ ，所以 $1^{2}+1^{2}=y_{0}^{2}$ ，即 $y_{0}=\sqrt{2}=r$ ，所以圆 $C$ 的标准方程为 $(x-1)^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=2$ ，今 $x=0$ 得：$B(0, \sqrt{2}+1)$ ．设圆 $C$ 在点 $B$ 处的切线方程为 $y-(\sqrt{2}+1)=\mathrm{kx}$ ，则圆心 $C$ 到其距离为： $d=\frac{|k-\sqrt{2}+\sqrt{2}+1|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\sqrt{2}$ ，解之得 $k=1$ ．即圆 $C$ 在点 $B$ 处的切线方程为 $y=\mathrm{x}+(\sqrt{2}+1)$ ，于是令 $y=0$ 可得 $\mathrm{x}=-\sqrt{2}-1$ ，即圆 $C$ 在点 $B$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $-1-\sqrt{2}$ ，故应填 $(x-1)^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=2$ 和 $-1-\sqrt{2}$ ．

【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题，属中高档题．
【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力。其解题突破口是观察出点 $C$ 的横坐标。