［选修4－5：不等式选讲］ 已知 f(x)=|x-a| x…——2019 高考数学第 23 题答案解析

【答案】①$(-\infty, 1)$ ；②$[1,+\infty)$

【解析】

【分析】
（1）根据 $a=1$ ，将原不等式化为 $|x-1| x+|x-2|(x-1)<0$ ，分别讨论 $x<1,1 \leq x<2$ ，$x \geq 2$ 三种情况，即可求出结果；
（2）分别讨论 $a \geqslant 1$ 和 $a<1$ 两种情况，即可得出结果．
【详解】①当 $a=1$ 时，原不等式可化为 $|x-1| x+|x-2|(x-1)<0$ ；
当 $x<1$ 时，原不等式可化为 $(1-x) x+(2-x)(x-1)<0$ ，即 $(x-1)^{2}>0$ ，显然成立，此时解集为 $(-\infty, 1)$ ；

当 $1 \leq x<2$ 时，原不等式可化为 $(x-1) x+(2-x)(x-1)<0$ ，解得 $x<1$ ，此时解集为空集 ；

当 $x \geq 2$ 时，原不等式可化为 $(x-1) x+(x-2)(x-1)<0$ ，即 $(x-1)^{2}<0$ ，显然不成立；此时解集为空集；

综上，原不等式的解集为 $(-\infty, 1)$ ；

（2）当 $a \geqslant 1$ 时，因为 $x \in(-\infty, 1)$ ，所以由 $f(x)<0$ 可得 $(a-x) x+(2-x)(x-a)<0$ ，即 $(x-a)(x-1)>0$ ，显然恒成立；所以 $a \geqslant 1$ 满足题意；

当 $a<1$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{c}2(x-a), a \leq x<1 \\ 2(x-a)(1-x), x<a\end{array}\right.$ ，因为 $a \leq x<1$ 时，
$f(x)<0$ 显然不能成立，所以 $a<1$ 不满足题意；
综上，$a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$ ．
【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．