(12分)(2011-辽宁)某农场计划种植某种新作物,为此…——2011 高考数学第 19 题答案解析

2011_退役省自主命题 (2011·理)

2011 全国 第 19 题 解答题 区分题
2011_退役省自主命题 (2011·理)

19.(12分)(2011-辽宁)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2 n小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙。
(I)假设 $\mathrm{n}=4$ ,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X ,求 X 的分布列和数学期望;
(II)试验时每大块地分成 8 小块,即 $\mathrm{n}=8$ ,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位: $\mathrm{kg} / \mathrm{hm}^{2}$ )如下表:

品种甲403397390404388400412406
品种乙419403412418408423400413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?

附:样本数据 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \cdots, \mathrm{x}_{\mathrm{a}}$ 的样本方差 $\mathrm{s}^{2}=\frac{1}{\mathrm{n}}\left[\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\cdots+\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\right]$ ,其中 $\overline{\mathrm{x}}$ 为样本平均数。

完整解析 · 逐步详解

【考点】离散型随机变量的期望与方差;用样本的数字特征估计总体的数字特征.
【专题】计算题;应用题.
【分析】(I)根据题意得到变量X的可能取值是 $0,1,2,3,4$ ,结合变量对应的事件写出变量对应的概率,列出分布列,算出变量的期望值.
(II)根据条件中所给的甲和乙两组数据,分别求出甲品种的每公顷产量的平均值和方差和乙的平均值和方差,把两个品种的平均值和方差进行比较,得到品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两个品种的样本方差差异不大,应选择种植品种乙.

【解答】解:(I)由题意知X的可能取值是 $0,1,2,3,4$ ,

$P(X=0)=\frac{1}{C_{8}^{4}}=\frac{1}{70}$
$P(X=1)=\frac{C_{4}^{1} C_{4}^{3}}{C_{8}^{4}}=\frac{16}{70}$
$P(X=2)=\frac{C_{4}^{2} C_{4}^{2}}{C_{8}^{4}}=\frac{36}{70}$

$P(X=3)=\frac{C_{4}^{1} C_{4}^{3}}{C_{8}^{4}}=\frac{16}{70}$,
$P(X=4)=\frac{1}{C_{8}^{4}}=\frac{1}{70}$
$\therefore \mathrm{X}$ 的分布列为

X01234
P1$\frac{16}{70}$36161
70$\frac{70}{70}$70

$\therefore \mathrm{X}$ 的期望是 $1 \times \frac{16}{70}+2 \times \frac{36}{70}+3 \times \frac{16}{70}+4 \times \frac{1}{70}=2$
(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数
$\frac{403+397+390+404+388+400+412+406}{8}=400$,
方差是 $\frac{1}{8}(9+9+100+16+144+0+144+36)=57.25$
品种乙每公顷的产量的样本平均数
$\frac{419+403+412+418+408+423+400+413}{8}=412$,
方差是 $\frac{1}{8}(49+81+0+36+16+121+144+1)=56$
有以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,
且两个品种的样本方差差异不大,故应选择种植品种乙.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查两组数据的平均值和方差,并且针对于所得的结果进行比较,本题考查利用概率统计知识解决实际问题.

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✅ 来源:2011年 · 全国 · 2011_退役省自主命题 (2011·理) · 第 19 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验

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