为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两…——2023 高考数学第 19 题答案解析

【答案】①分布列见解析，$E(X)=1$
②（i）$m=23.4$ ；列联表见解析，（ii）能

## 【解析】

【分析】①利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
②（i）根据中位数的定义即可求得 $m=23.4$ ，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解．

## 【小问 1 详解】

依题意，$X$ 的可能取值为 $0,1,2$ ，

则 $P(X=0)=\frac{\mathrm{C}_{20}^{0} \mathrm{C}_{20}^{2}}{\mathrm{C}_{40}^{2}}=\frac{19}{78}, P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_{20}^{1} \mathrm{C}_{20}^{1}}{\mathrm{C}_{40}^{2}}=\frac{20}{39}, P(X=2)=\frac{\mathrm{C}_{20}^{2} \mathrm{C}_{20}^{0}}{\mathrm{C}_{40}^{2}}=\frac{19}{78}$ ，
所以 $X$ 的分布列为：

故 $E(X)=0 \times \frac{19}{78}+1 \times \frac{20}{39}+2 \times \frac{19}{78}=1$ ．

## 【小问 2 详解】

（i）依题意，可知这 40 只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第 20 位与第 21 位数据的平均数，

由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，
可得第 11 位数据为 14.4 ，后续依次为 $17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6, \cdots$ ，
故第 20 位为 23.2 ，第 21 位数据为 23.6 ，
所以 $m=\frac{23.2+23.6}{2}=23.4$ ，
故列联表为：

（ii）由（i）可得，$K=\frac{40 \times(6 \times 6-14 \times 14)^{2}}{20 \times 20 \times 20 \times 20}=6.400>3.841$ ，
所以能有 $95 \%$ 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．