超几何分布　·　历年高考数学真题与解析

19．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组 （加药物）．
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（2）测得 40 只小鼠体重如下（单位： g ）：（已按从小到大排好）
对照组： $17.3 \quad 18.4 \quad 20.1 \quad 20.4 \quad 21.5 \quad 23.2 \quad 24.6 \quad 24.8 \quad 25.0 \quad 25.4$
$\begin{array}{llllllllll}26.1 & 26.3 & 26.4 & 26.5 & 26.8 & 27.0 & 27.4 & 27.5 & 27.6 & 28.3\end{array}$

（i）求 40 只小鼠体重的中位数 $m$ ，并完成下面 $2 \times 2$ 列联表：

（ii）根据 $2 \times 2$ 列联表，能否有 $95 \%$ 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。
参考数据：

17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月 $A, B$ 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 $A, B$ 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生的支付金额分布情况如下：

（I）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 $A, B$ 两种支付方式都使用的概率； （II）从样本仅使用 $A$ 和仅使用 $B$ 的学生中各随机抽取 1 人，以 $X$ 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 $A$ 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用 $A$ 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由．

18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$ 和 4名女志愿者 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ ，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示。
（ I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 $\mathrm{A}_{1}$ 但不包含 $\mathrm{B}_{1}$ 的概率。
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX

16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名。从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛。
（I）设 A 为事件＂选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会＂，求事件 A发生的概率；
（II）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望．

17．（本小题满分 13 分，（1）小问 5 分，（2）小问 8 分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个。
（1）求三种粽子各取到 1 个的概率；
（2）设 $X$ 表示取到的豆沙粽个数，求 $X$ 的分布列与数学期望

19．（本题满分 14 分）已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等） 3 个球，记随机变量 $X$ 为取出此 $\mathbf{3}$ 球所得分数之和。
（I）求 $X$ 的分布列；
（II）求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ．

19．（12分）（2011－辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2 n小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙。
（I）假设 $\mathrm{n}=4$ ，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 X ，求 X 的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成 8 小块，即 $\mathrm{n}=8$ ，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位： $\mathrm{kg} / \mathrm{hm}^{2}$ ）如下表：

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \cdots, \mathrm{x}_{\mathrm{a}}$ 的样本方差 $\mathrm{s}^{2}=\frac{1}{\mathrm{n}}\left[\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\cdots+\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\overline{\mathrm{x}}$ 为样本平均数。

16．（本小题满分 12 分）

某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别。公司准备了两种不同的饮料共 5杯，其颜色完全相同，并且其中 3 杯为 A 饮料，另外 2 杯为 B 饮料，公司要求此员工

一一品尝后，从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料．若该员工 3 杯都选对，则评为优秀；若 3

杯选对 2 杯，则评为良好；否则评为及格。假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力。
（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率．

18．（本小题满分 12 分）
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 $\frac{3}{4}$ 是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有 $\frac{1}{3}$ 持金卡，在省内游客中有 $\frac{2}{3}$ 持银卡。
（I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；
（II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E \xi$ 。

## 19 （本小题满分 12 分）

如图，正方形 $A B C D$ 所在平面与平面四边形 $A B E F$ 所在平面互相垂直，$\triangle A B E$ 是等腰直角三角形，$A B=A E, F A=F E, \angle A E F=45^{\circ}$
（I）求证：$E F \perp$ 平面 $B C E$ ；
（II）设线段 $C D$ 的中点为 $P$ ，在直线 $A E$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $P M \|$ 平面 $B C E$ ？若存在，请指出点 $M$ 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（III）求二面角 $F-B D-A$ 的大小。

20 （本小题满分 12 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线方程为 $x=2$ 。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与该随圆交于 $M, N$ 两点，且 $\left|\overrightarrow{F_{2} M}+\overrightarrow{F_{2} N}\right|=\frac{2 \sqrt{26}}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程。

（18）（满分 12 分）在 10 件产品中，有 3 件一等品， 4 件二等品， 3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件，求：
（I）取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望；
（II）取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。