（12分）设数列 a_ n 的前 n 项和为 S_ n，已…——2009 高考数学第 19 题答案解析

【考点】87：等比数列的性质； 8 H ：数列递推式．
【专题】15：综合题．
【分析】①由题设条件知 $b_{1}=a_{2}-2 a_{1}=3$ ．由 $S_{n+1}=4 a_{n}+2$ 和 $S_{n}=4 a_{n-1}+2$ 相减得 $a_{n+1} =4 a_{n}-4 a_{n-1}$ ，即 $a_{n+1}-2 a_{n}=2\left(a_{n}-2 a_{n-1}\right)$ ，所以 $b_{n}=2 b_{n-1}$ ，由此可知 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}=3$ 为首项、以 2 为公比的等比数列．
（2）由题设知 $\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_{n}}{2^{n}}=\frac{3}{4}$ ．所以数列 $\left\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$ ，公差为 $\frac{3}{4}$ 的等差数列 －由此能求出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

【解答】解：（1）由 $a_{1}=1$ ，及 $S_{n+1}=4 a_{n}+2$ ，
得 $a_{1}+a_{2}=4 a_{1}+2, a_{2}=3 a_{1}+2=5$ ，所以 $b_{1}=a_{2}-2 a_{1}=3$ ．
由 $S_{n+1}=4 a_{n}+2$ ，①

则当 $n \geq 2$ 时，有 $S_{n}=4 a_{n-1}+2$ ，（2）
①－②得 $a_{n+1}=4 a_{n}-4 a_{n-1}$ ，所以 $a_{n+1}-2 a_{n}=2\left(a_{n}-2 a_{n-1}\right)$ ，
又 $b_{n}=a_{n+1}-2 a_{n}$ ，所以 $b_{n}=2 b_{n-1}\left(b_{n} \neq 0\right)$ ，所以 $\left\{b_{n}\right\}$ 是以 $b_{1}=3$ 为首项、以 2 为公比的等比数列．（6分）
②由①可得 $b_{n}=a_{n+1}-2 a_{n}=3 \cdot 2^{n-1}$ ，等式两边同时除以 $2^{n+1}$ ，得 $\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_{n}}{2^{n}}=\frac{3}{4}$

所以数列 $\left\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$ ，公差为 $\frac{3}{4}$ 的等差数列．

所以 $\frac{a_{n}}{2^{n}}=\frac{1}{2}+(n-1) \frac{3}{4}=\frac{3}{4} n-\frac{1}{4}$ ，即 $a_{n}=(3 n-1) \cdot 2^{n-2}\left(n \in N^{*}\right) . ~(13$ 分）
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．