（14分）（2015 · 广东）如图，三角形 PDC 所在…——2015 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（14分）（ $2015 \cdot$ 广东）如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直 ， $\mathrm{PD}=\mathrm{PC}=4, \mathrm{AB}=6, \mathrm{BC}=3$ ．
（1）证明： $\mathrm{BC} \|$ 平面 PDA ；
（2）证明： $\mathrm{BC} \perp \mathrm{PD}$ ；
（3）求点 C 到平面 PDA 的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
【专题】综合题；空间位置关系与距离。
【分析】（1）利用四边形 ABCD 是长方形，可得 $\mathrm{BC} \| \mathrm{AD}$ ，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；
（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出 $\mathrm{BC} \perp$ 平面 PDC ，即可证明 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{PD}$ ；
（3）利用等体积法，求点 C 到平面 PDA 的距离。
【解答】（1）证明：因为四边形 ABCD 是长方形，所以 $\mathrm{BC} \| \mathrm{AD}$ ，因为 $\mathrm{BC} \not \subset$ 平面 $\mathrm{PDA}, \mathrm{ADC}$ 平面 PDA ，所以 $\mathrm{BC} \|$ 平面 PDA ；
（2）证明：因为四边形 ABCD 是长方形，所以 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{CD}$ ，因为平面 $\mathrm{PDC} \perp$ 平面 ABCD ，平面 $\mathrm{PDC} \cap$ 平面 $\mathrm{ABCD}=\mathrm{CD}, \mathrm{BC} \subset$ 面 ABCD ，
所以 $\mathrm{BC} \perp$ 平面 PDC ，
因为 PDC 平面 PDC ，
所以 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{PD}$ ；
（3）解：取 CD 的中点 E ，连接 AE 和 PE ，
因为 $\mathrm{PD}=\mathrm{PC}$ ，所以 $\mathrm{PE} \perp \mathrm{CD}$ ，
在Rt $\triangle \mathrm{PED}$ 中， $\mathrm{PE}=\sqrt{\mathrm{PD}^{2}-\mathrm{DE}^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$ ．
因为平面 $\mathrm{PDC} \perp$ 平面 ABCD ，平面 $\mathrm{PDC} \cap$ 平面 $\mathrm{ABCD}=\mathrm{CD}, \mathrm{PEC}$ 平面 PDC ，
所以 $\mathrm{PE} \perp$ 平面 ABCD 。
由（2）知： $\mathrm{BC} \perp$ 平面 PDC ，
由（1）知： $\mathrm{BC} \| \mathrm{AD}$ ，
所以 $\mathrm{AD} \perp$ 平面 PDC ，
因为 $\mathrm{PD} \subset$ 平面 PDC ，所以 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{PD}$ ．
设点 C 到平面 PDA 的距离为 h ．
因为 $\mathrm{V}_{\mathrm{C}-\mathrm{PDA}}=\mathrm{V}_{\mathrm{P}-\mathrm{ACD}}$ ，
所以 $\frac{1}{3} S_{\triangle \mathrm{PDA}} \mathrm{h}=\frac{1}{3} S_{\triangle \mathrm{ACD}} \cdot \mathrm{PE}$ ，
所以 $\mathrm{h}=\frac{\frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times \sqrt{7}}{\frac{1}{2} \times 3 \times 4}=\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ，
所以点 C 到平面 PDA 的距离是 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ．

【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的积累，属于中档题。