（本小题满分 12 分，（1）小问 4 分，（2）小问 8…——2015 高考数学第 22 题答案解析

【答案】①$a_{n}=3 \cdot 2^{n-1}$ ；（2）证明见解析．

## 【解析】

试题分析：（1）由于 $\lambda=0, \mu=-2$ ，因此把已知等式具体化得 $a_{n+1} a_{n}=2 a_{n}^{2}$ ，显然由于 $a_{1}=3$ ，则 $a_{n} \neq 0$（否则会得出 $a_{1}=0$ ），从而 $a_{n+1}=2 a_{n}$ ，所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，由其通项公式可得结论；②本小题是数列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是 $a_{n+1} a_{n}+\frac{1}{k_{0}} a_{n+1}-a_{n}{ }^{2}=0$ ，可变形为 $a_{n+1}\left(a_{n}+\frac{1}{k_{0}}\right)=a_{n}{ }^{2}\left(n \in \mathrm{~N}_{+}\right)$，由于 $k_{0}>0$ ，因此 $\frac{a_{n}}{a_{n}+\frac{1}{k_{0}}}<1$ ，于是可得 $a_{n+1}a_{2}>\cdots>a_{n}>a_{n+1}>\cdots>0$ ，又 $a_{n+1}=\frac{a_{n}{ }^{2}}{a_{n}+\frac{1}{k_{0}}}=\frac{a_{n}{ }^{2}-\frac{1}{k_{0}{ }^{2}}+\frac{1}{k_{0}{ }^{2}}}{a_{n}+\frac{1}{k_{0}}}=a_{n}-\frac{1}{k_{0}}+\frac{1}{k_{0}} \times \frac{1}{k_{0} a_{n}+1}$ ，于是有 $a_{k_{0}+1}=a_{1}+\left(a_{2}-a_{1}\right)+\cdots+\left(a_{k_{0}+1}-a_{k_{0}}\right) =a_{1}-k_{0} \cdot \frac{1}{k_{0}}+\frac{1}{k_{0}} \cdot\left(\frac{1}{k_{0} a_{1}+1}+\frac{1}{k_{0} a_{2}+1}+\cdots+\frac{1}{k_{0} a_{k_{0}}+1}\right)>2+\frac{1}{k_{0}} \cdot\left(\frac{1}{3 k_{0}+1}+\frac{1}{3 k_{0}+1}+\cdots+\frac{1}{3 k_{0}+1}\right)$

$=2+\frac{1}{3 k_{0}+1}$ ，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知 $a_{n}>2\left(n \in N^{*}\right)$ ，因此 $a_{k_{0}+1}=$
$=a_{1}-k_{0} \cdot \frac{1}{k_{0}}+\frac{1}{k_{0}} \cdot\left(\frac{1}{k_{0} a_{1}+1}+\frac{1}{k_{0} a_{2}+1}+\cdots+\frac{1}{k_{0} a_{k_{0}}+1}\right) \quad<2+\frac{1}{k_{0}} \cdot\left(\frac{1}{2 k_{0}+1}+\frac{1}{2 k_{0}+1}+\cdots+\frac{1}{2 k_{0}+1}\right)$
$=2+\frac{1}{2 k_{0}+1}$ ，这样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法．①由 $\lambda=0, \mu=-2$ ，有
$a_{n+1} a_{n}=2 a_{n}^{2},\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}_{+}\right)$
若存在某个 $\mathrm{n}_{0} \in \mathrm{~N}_{+}$，使得 $a_{\mathrm{n}_{0}}=0$ ，则由上述递推公式易得 $a_{\mathrm{n}_{0}+1}=0$ ，重复上述过程可得 $a_{1}=0$ ，此与 $a_{1}=3$
矛盾，所以对任意 $n \in \mathrm{~N}_{+}, a_{n} \neq 0$ ．
从而 $a_{n+1}=2 a_{n}\left(n \in \mathrm{~N}_{+}\right)$，即 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个公比 $\mathrm{q}=2$ 的等比数列．
故 $a_{n}=a_{1} q^{n-1}=3 \times 2^{n-1}$ ．
②由 $\lambda=\frac{1}{k_{0}}, \mu=-1$ ，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的递推关系式变为
$a_{n+1} a_{n}+\frac{1}{k_{0}} a_{n+1}-a_{n}^{2}=0$ ，变形为 $a_{n+1}\left(a_{n}+\frac{1}{k_{0}}\right)=a_{n}^{2}\left(n \in \mathrm{~N}_{+}\right)$．
由上式及 $a_{1}=3$ ，归纳可得
$3=a_{1}>a_{2}>\cdots>a_{n}>a_{n+1}>\cdots>0$
因为 $a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}+\frac{1}{k_{0}}}=\frac{a_{n}^{2}-\frac{1}{k_{0}^{2}}+\frac{1}{k_{0}^{2}}}{a_{n}+\frac{1}{k_{0}}}=a_{n}-\frac{1}{k_{0}}+\frac{1}{k_{0}} \cdot \frac{1}{k_{0} a_{n}+1}$ ，所以对 $n=1,2 \cdots k_{0}$

求和得 $a_{k_{0}+1}=a_{1}+\left(a_{2}-a_{1}\right)+\cdots+\left(a_{k_{0}+1}-a_{k_{0}}\right)$

$$ \begin{aligned} & =a_{1}-k_{0} \cdot \frac{1}{k_{0}}+\frac{1}{k_{0}} \cdot\left(\frac{1}{k_{0} a_{1}+1}+\frac{1}{k_{0} a_{2}+1}+\cdots+\frac{1}{k_{0} a_{k_{0}}+1}\right) \\ & >2+\frac{1}{k_{0}} \cdot\left(\frac{1}{3 k_{0}+1}+\frac{1}{3 k_{0}+1}+\cdots+\frac{1}{3 k_{0}+1}\right)=2+\frac{1}{3 k_{0}+1} \end{aligned} $$

另一方面，由上已证的不等式知 $a_{1}>a_{2}>\cdots>a_{k_{0}}>a_{k_{0}+1}>2$ 得

$$ \begin{aligned} a_{k_{0}+1} & =a_{1}-k_{0} \cdot \frac{1}{k_{0}}+\frac{1}{k_{0}} \cdot\left(\frac{1}{k_{0} a_{1}+1}+\frac{1}{k_{0} a_{2}+1}+\cdots+\frac{1}{k_{0} a_{k_{0}}+1}\right) \\ & <2+\frac{1}{k_{0}} \cdot\left(\frac{1}{2 k_{0}+1}+\frac{1}{2 k_{0}+1}+\cdots+\frac{1}{2 k_{0}+1}\right)=2+\frac{1}{2 k_{0}+1} \end{aligned} $$

综上： $2+\frac{1}{3 k_{0}+1}【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法，考查探究能力和推理论证能力，考查创新意识。
【名师点晴】数列是考查考生创新意识与实践精神的最好素材。从近些年的高考试题来看，一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数（包括三角函数）、不等式以及导数等的综合性试题不断涌现，这部分试题往往以压轴题的形式出现，考查综合运用知识的能力，突出知识的融会贯通。数列的问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的＂复制＂式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积（幂）等形式。在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力。
本题第（1）小题通过递推式证明数列是等比数列，从而应用等比数列的通项公式求得通项，第②小题把数列与不等式结合起来，利用数列的递推式证明数列是单调数列，利用放缩法证明不等式，难度很大。