2014_退役省自主命题 (2014·文)
16．（本小题满分 12 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{n^{2}+n}{2}, n \in N^{*} \quad$．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=2^{a_{n}}+(-1)^{n} a_{n}$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和．
(1) $a_{n}=n \quad$; (2) $T_{2 n}=2^{2 n+1}+n-2$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①$a_{n}=n \quad$②$T_{2 n}=2^{2 n+1}+n-2$
【解析】
试题分析：（1）题目已知 $a_{n}, S_{n}$ 之间的关系，令 $n=1$，利用 $a_{1}=S_{1}$，即可求的 $a_{1}$ 的值，令 $n \geq 2$，利用 $a_{n}$ 与前 n 项和之间的关系 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ 即可得到 $a_{n}$，令 $n=1$ 检验首项即可得到 $a_{n}$ 的通项公式．
（2）把（1）得到的通项公式代入 $b_{n}$ 可以得到 $b_{n}$ 是由等比数列 $2^{n}$，数列 $(-1)^{n} \cdot n$ 之和，才用分组求和法，首先利用等比数列前 n 项和公式求的等比数列 $2^{n}$ 的前 n 项和，再利用
$-1+2=-3+4=-5+6=\cdots=-(2 n-1)+2 n=1$ 对数列 $(-1)^{n} \cdot n$ 进行分组
$(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+\cdots+(-(2 n-1)+2 n)$ 即可求的数列 $b_{n}$ 的前 n 项和
试题解析：（1）当 $n=1$ 时，$a_{1}=S_{1}=1$；
当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\frac{n^{2}+n}{2}-\frac{(n-1)^{2}+(n-1)}{2}=n$，
检验首项 $a_{1}=1$ 符合 $a_{n}=n$，所以数列 $\left\{a_{-}\right\}$的通项公式为 $a_{-}=n$。
②由①可得 $b_{n}=2^{n}+(-1)^{n} \cdot n$，记数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和为 $T_{2 n}$，
则 $T_{2 n}=\left(2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2 n}\right)+(-1+2-3+4-5+\cdots+2 n)$
$\Rightarrow T_{2 n}=\frac{2^{1}-2^{2 n} \cdot 2}{1-2}+[(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+\cdots+(-(2 n-1)+2 n)]$
$\Rightarrow T_{2 n}=2^{2 n+1}+n-2$
故数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和为 $T_{2 n}=2^{2 n+1}+n-2$
【考点定位】数列前 $n$ 项和 等差数列 等比数列 分组求和法