（本小题满分 13 分）设数列 a_ n 的前 n 项和为…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（I）略；（II）$S_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}\left(5 \times 3^{\frac{n-2}{2}}-1\right),\left(n=2 k+1, k \in N^{*}\right) \\ \frac{3}{2}\left(3^{\frac{n}{2}}-1\right),\left(n=2 k, k \in N^{*}\right)\end{array}\right.$

## 【解析】

试题分析：（I）当 $n \in N^{*}, n \geq 2$ 时，由题可得 $a_{n+2}=3 S_{n}-S_{n+1}+3,\left(n \in N^{*}\right), a_{n+1}=3 S_{n-1}-S_{n}+3,\left(n \in N^{*}\right)$ ，两式子相减可得 $a_{n+2}-a_{n+1}=3 a_{n}-a_{n+1}$ ，即 $a_{n+2}=3 a_{n},(n \geq 2)$ ，然后验证当 $\mathrm{n}=1$ 时，命题成立即可；（II）通过求解数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前 n 项和的通项公式。

试题解析：（I）由条件，对任意 $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n+2}=3 S_{n}-S_{n+1}+3,\left(n \in N^{*}\right)$ ，因而对任意 $n \in N^{*}, n \geq 2$ ，有 $a_{n+1}=3 S_{n-1}-S_{n}+3,\left(n \in N^{*}\right)$ ，两式相减，得 $a_{n+2}-a_{n+1}=3 a_{n}-a_{n+1}$ ，即 $a_{n+2}=3 a_{n},(n \geq 2)$ ，又 $a_{1}=1, a_{2}=2$ ，所以 $a_{3}=3 S_{1}-S_{2}+3=3 a_{1}-\left(a_{1}+a_{2}\right)+3=3 a_{1}$ ，故对一切 $n \in N^{*}, a_{n+2}=3 a_{n}$ 。
（II）由（I）知，$a_{n} \neq 0$ ，所以 $\frac{a_{n+2}}{a_{n}}=3$ ，于是数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是首项 $a_{1}=1$ ，公比为 3 的等比数列，数列 $\left\{a_{2 n}\right\}$是首项 $a_{1}=2$ ，公比为 3 的等比数列，所以 $a_{2 n-1}=3^{n-1}, a_{2 n}=2 \times 3^{n-1}$ ，于是 $S_{2 n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2 n}=\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)+\left(a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 n}\right)$

$$ =\left(1+3+\cdots 3^{n-1}\right)+2\left(1+3+\cdots 3^{n-1}\right)=3\left(1+3+\cdots 3^{n-1}\right)=\frac{3\left(3^{n}-1\right)}{2} $$

从而 $S_{2 n-1}=S_{2 n}-a_{2 n}=\frac{3\left(3^{n}-1\right)}{2}-2 \times 3^{n-1}=\frac{3}{2}\left(5 \times 3^{n-2}-1\right)$ ，综上所述，$S_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}\left(5 \times 3^{\frac{n-2}{2}}-1\right),\left(n=2 k+1, k \in N^{*}\right) \\ \frac{3}{2}\left(3^{\frac{n}{2}}-1\right),\left(n=2 k, k \in N^{*}\right)\end{array}\right.$ 。

【考点定位】数列递推关系、数列求和
【名师点睛】已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
（1）先利用 $a_{1}=S_{1}$ 求出 $a_{1}$ ；
（2）用 $n-1$ 替换 $S_{n}$ 中的 $n$ 得到一个新的关系，利用 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}(n \geqslant 2)$ 便可求出当

$n \geqslant 2$ 时 $a_{n}$ 的表达式；（3）对 $n=1$ 时的结果进行检验，看是否符合 $n \geqslant 2$ 时 $a_{n}$ 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 $n=1$ 与 $n \geqslant 2$ 两段来写。数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用．