2021_北京卷 (2021)
21．定义 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}:$ 对实数 $p$ ，满足：①$a_{1}+p \geq 0, a_{2}+p=0$ ；②$\forall n \in N^{*}, a_{4 n-1}
（2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $R_{0}$ 数列，求 $a_{5}$ 的值；
（3）是否存在 $p$ ，使得存在 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，对 $\forall n \in N^{*}, S_{n} \geq S_{10}$ ？若存在，求出所有这样的 $p$ ；若不存在，说明理由。
【答案】（1）不可以是 $R_{2}$ 数列；理由见解析；②$a_{5}=1$ ；③存在；$p=2$ ．
## 【解析】
【分析】①由题意考查 $a_{3}$ 的值即可说明数列不是 $R_{2}$ 数列；
②由题意首先确定数列的前 4 项，然后讨论计算即可确定 $a_{5}$ 的值；
（3）构造数列 $b_{n}=a_{n}+p$ ，易知数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是 $R_{0}$ 的，结合（2）中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数 $p$的值．
【详解】①由性质③结合题意可知 $0=a_{3} \in\left\{a_{1}+a_{2}+2, a_{1}+a_{2}+2+1\right\}=\{2,3\}$ ，
矛盾，故前 4 项 $2,-2,0,1$ 的数列，不可能是 $R_{2}$ 数列． 因此只能是 $a_{4}=1, a_{3}=a_{1}$ ． 当 $n=0$ 时，经验证命题成立，假设当 $n \leq k(k \geq 0)$ 时命题成立， $\forall m, n \in N^{*}, b_{m+n}=a_{m+n}+p \in\left\{a_{m}+p+a_{n}+p, a_{m}+p+a_{n}+p+1\right\}=\left\{b_{m}+b_{n}, b_{m}+b_{n}+1\right\}$, 由于 $b_{1}=a_{1}+p \geq 0, b_{2}=a_{2}+p=0, b_{4 n-1}=a_{4 n-1}+p
（2）性质①$a_{1} \geq 0, a_{2}=0$ ，
由性质③$a_{m+2} \in\left\{a_{m}, a_{m}+1\right\}$ ，因此 $a_{3}=a_{1}$ 或 $a_{3}=a_{1}+1, a_{4}=0$ 或 $a_{4}=1$ ，
若 $a_{4}=0$ ，由性质②可知 $a_{3}
又因为 $a_{4}=a_{1}+a_{3}$ 或 $a_{4}=a_{1}+a_{3}+1$ ，所以 $a_{1}=\frac{1}{2}$ 或 $a_{1}=0$ ．
若 $a_{1}=\frac{1}{2}$ ，则 $a_{2}=a_{1+1} \in\left\{a_{1}+a_{1}+0, a_{1}+a_{1}+0+1\right\}=\left\{2 a_{1}, 2 a_{1}+1\right\}=\{1,2\}$ ，
不满足 $a_{2}=0$ ，舍去．
当 $a_{1}=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 前四项为： $0,0,0,1$ ，
下面用纳法证明 $a_{4 n+i}=n(i=1,2,3), a_{4 n+4}=n+1(n \in N)$ ：
当 $n=k+1$ 时：
若 $i=1$ ，则 $a_{4(k+1)+1}=a_{4 k+5}=a_{j+(4 k+5-j)}$ ，利用性质③：
$\left\{a_{j}+a_{4 k+5-j} \mid j \in N^{*}, 1 \leq j \leq 4 k+4\right\}=\{k, k+1\}$ ，此时可得：$a_{4 k+5}=k+1$ ；
否则，若 $a_{4 k+5}=k$ ，取 $k=0$ 可得：$a_{5}=0$ ，
而由性质②可得：$a_{5}=a_{1}+a_{4} \in\{1,2\}$ ，与 $a_{5}=0$ 矛盾．
同理可得：
$\left\{a_{j}+a_{4 k+6-j} \mid j \in N^{*}, 1 \leq j \leq 4 k+5\right\}=\{k, k+1\}$ ，有 $a_{4 k+6}=k+1$ ；
$\left\{a_{j}+a_{4 k+8-j} \mid j \in N^{*}, 2 \leq j \leq 4 k+6\right\}=\{k+1, k+2\}$ ，有 $a_{4 k+8}=k+2$ ；
$\left\{a_{j}+a_{4 k+7-j} \mid j \in N^{*}, 1 \leq j \leq 4 k+6\right\}=\{k+1\}$ ，又因为 $a_{4 k+7}
综上可得：$a_{1}=0, a_{5}=a_{4 \times 1+1}=1$ ．
（3）令 $b_{n}=a_{n}+p$ ，由性质③可知：
由②可知：
若 $\forall n \in N, a_{4 n+i}=n-p(i=1,2,3), a_{4 n+4}=n+1-p$ ；
$S_{11}-S_{10}=a_{11}=a_{4 \times 2+3}=2-p \geq 0, \quad S_{9}-S_{10}=-a_{10}=-a_{4 \times 2+2}=-(2-p) \geq 0$,
因此 $p=2$ ，此时 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10} \leq 0, a_{j} \geq 0(j \geq 11)$ ，满足题意。
【点睛】本题属于数列中的＂新定义问题＂，＂新定义＂主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说＂新题＂不一定是＂难题＂ ，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。